Один вопрос про редукционную формулу и перенормировку полей

[Munin]

Name XXX в сообщении #886514 писал(а):

Не вводить же для каждого нового поля канонические координаты и импульсы...

А почему? Каждое новое поле - это новая степень свободы.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #886525 писал(а):

Name XXX в сообщении #886514
писал(а):
Не вводить же для каждого нового поля канонические координаты и импульсы...
А почему? Каждое новое поле - это новая степень свободы.

Это смотря что понимать под "каждым новым полем". Например, из того, что при взамимодействии кварков (ч/з глюоны) возникают пионы, вовсе не следует, что возникают новые "пионные" канонические координаты и импульсы.

[Munin]

Дык тут и новых полей не возникает.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #886555 писал(а):

Дык тут и новых полей не возникает.

Ну, в таком смысле новых полей вообще никогда не возникает: сколько изначально заложили, столько и будет.

Интересно, что пионное поле всеже возникает. Но это классическое поле! Введите источник нелинейно связанный с исходными полями: $j_{\pi}\bar{\psi}\psi$. Я опустил изотопические индексы. Постройте разложение эффективного действия с в т.ч. такими источниками. Получите диаграмные разложения, в которых будет пропагатор пиона (двухточечная по пионным источникам ФГ, точнее ее полюсная часть). Но все диаграммы будут древесными, без петель. Такая диаграмная техника соответствует классической теории поля. Но вершин станет бесконечно много разных, в них и "спрячутся" все петли (ну и в пропагаторы тоже).

[Munin]

Не понял. Как вообще может быть пропагатор пиона, если в лагранжиане для него кинетического члена нет? А если вводить - то это полноценное поле, и кстати, квантующееся.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #886588 писал(а):

Не понял. Как вообще может быть пропагатор пиона, если в лагранжиане для него кинетического члена нет?

В лагранжиане нет не только кинетического члена, но и вообще пионного поля. А пропагатор пиона, тем не менее, можно построить. И я написал как. Читайте, думайте, может поймете Наиболее нетривиальный момент тут --- выделение полюсного члена. Если строго, то это нужно делать через решение уравнения типа Бете-Солпитера. Удобнее это уравнение писать для треххвостки, а не для четыреххвостки, как обычно. Впрочем, это не так уж важно. Хотя здесь, в КХД это не тривиально. Ну возмите позитроний, тут без затей все. Есть такая частица, позитроний? Значит у нее есть и пропагатор. А никаких полей позитрония в лагранжиане КЭД нет.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #886614 писал(а):

Читайте, думайте, может поймете :-)

Если будете издеваться, а не объяснять - не пойму. Не знаю, чем заслужил такое.

[Name XXX]

Munin в сообщении #886525 писал(а):

Name XXX в сообщении #886514 писал(а):

Не вводить же для каждого нового поля канонические координаты и импульсы...

А почему? Каждое новое поле - это новая степень свободы.

Имею в виду, что утверждение о том, что следствие спектрального представления Челлена-Леммана (я еще ссылался на статью Вики про него) для скалярного поля, $0 \leqslant Z \leqslant 1$, "легко обобщается на поля произвольного спина" (цитирую Вайнберга и его "КТП"), нетривиальное.
Как можно показать (я ссылался на учебники Вайнберга да Грайнера выше), результат для $Z$ в случае скалярного поля получается так, что просто повезло, что выражение для пропагатора содержит такие операторы $\hat {\Psi}, \hat {\Psi}^{\dagger}$, что коммутатор $[\hat {\Psi}(\mathbf x , t), |partial_{0}\hat {\Psi}^{\dagger}(\mathbf y , t)]$ как раз соответствует коммутатору канонических величин теории (на дельта-функцию). То есть,

1) так как производная по времени от выражения для пропагатора (и естественным образом множитель Z при нем) $\langle | \hat {T}\left( \hat {Q}(x) \hat {P}(y) \right)|\rangle \right)$ при равных временах может быть записана через дельта-функцию (назовем это условием "справа"),

и

2) благодаря условию $[\hat {Q}(\mathbf x , t), \hat {P}(\mathbf y , t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y)$ (пусть это будет условие "слева"),

можно получить условие $1 = Z + \int \limits_{\m}^{\infty}\rho (\mu^{2})d (\mu^{2})$, что и дает оценку для Z (в виду того, что написано это не очень внятно, лучше посмотреть доказательство).

На случай же полей произвольного спина это утверждение не получится обобщить, так как для них выражение пропагатора не всегда определяется через координату и импульс. Потому не получится одновременно ввести множитель Z и получить для него оценку $1 = Z + \int \limits_{\m}^{\infty}\rho (\mu^{2})d (\mu^{2})$, ведь не обязательно, например, $[ \hat {\Psi}_{m}(\mathbf x, t), \hat {\Psi}_{l}^{\dagger}(\mathbf y , t)]_{\pm} = iF_{ml}\delta (\mathbf x - \mathbf y )$.

В этом я вижу основную трудность.

-- 11.07.2014, 20:28 --

По поводу пионов: в результат $Z \neq 1$ вносит вклад возможность рождения полем не просто одиночных состояний в фоковском базисе, а также и многочастичных состояний. В том числе - и связанных (как пиона). Связано это с тем, что формализм с перенормировкой полей (LSZ-теорема), откуда и возникает необходимость рассмотрения Z, основан на непертурбативном подходе, потому и в рамках него возможны такие диаграммы, что пропагатор между двумя "клубками" внешних линий может соответствовать не только одной частице, но и многим. В том числе - и связанному состоянию типа пиона (в этом мощь непертурбативного метода, что он позволяет учитывать даже те состояния, свободных полей для которых нет в лагранжиане). Множитель Z (лежащий в пределах от нуля до единицы), являющийся, по сути вероятностью рождения полем одночастичного состояния, как раз и отражает сей факт (как и необходимость перенормировки полей в любой теории).

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #886633 писал(а):

Если будете издеваться, а не объяснять - не пойму.

Да не издеваюсь я! Но не могу же я целый трактат тут писать. И сослаться не знаю на что можно было бы. Ключевые положения я сказал. Дальше придется додумывать. Я сам это понимаю в основном лишь интуитивно и в общих чертах, увы. Хотя что-то такое как-то выводил, для тяжелых кварков в нерелятивистком приближении. Давно дело было, не помню деталей. Помню, что там "выскочило" уравнение типа Шредингера, но неоднородное (для внутренних движений в мезоне, к этому свелось уравнение типа Бете-Солпитера --- обычная "лестница"). Сама составная частица могла быть и релятивисткой, в этой части получился обычный скалярный пропагатор. В общем поиграл маленько и бросил, поняв лишь в общих чертах. Может Вы до конца поймете. В этом смысле и надо понимать мою фразу.

Вспомните (или перечитайте) про эффективное действие. А потом задайтесь вопросом, что будет, если ввести источники нелинейно связанные с исходными полями, ну хотябы такие, как я написал. А дальше устроить все то, что обычно делают на счет эффективного действия. Но в т.ч. с ТАКИМИ источниками.

[Munin]

У меня пока два варианта попытки понимания того, что вы пишете.
1. Вы пишете, ввести источник, но надо его всего лишь выделить из уже существующих полей (пион - связанное состояние кварков, позитроний - связанное состояние электронов).
2. Если всё-таки вводить новый источник, но без своей динамики, то "пропагатором" вы называете просто закон дальнодействия.
Возможно, я просто вообще не читал того, на что вы ссылаетесь, и поэтому ваши ссылки бесполезны, и станут полезны только тогда, когда вы подскажете, что читать.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #886686 писал(а):

Вы пишете, ввести источник, но надо его всего лишь выделить из уже существующих полей

???? "Источник выделить из полей"???? Ну тогда надо начинать с двухтомника Швингера. Как там... "Источники, поля, частицы", вроде, называется. Древний довольно.

-- Сб июл 12, 2014 13:02:00 --

Munin в сообщении #886686 писал(а):

то "пропагатором" вы называете просто закон дальнодействия.

Пропагатор --- это двухточечная ФГ. По определению (в современной трактовке, совсем в древности не так было принято). А ФГ это вариационная производная от производящего функционала (амплитуды перехода вакуум-вакуум, а лучше от ее логарифма -- тогда получатся связанные ФГ) по источникам. Тоже по определению. Почитайте Рамона что-ли, Швингер --- это очень длинно... Там и про эффективное действие кратко есть, и то, что через эффективное действие получаются чисто древесные диаграммы, и то, что древесные диаграммы --- это классическая теория поля. Но кратко очень, вводный курс всего лишь...

[Munin]

Швингера не читал. С вашей терминологией не знаком, особенно если она ещё и разная. В Рамона заглядывал, чудес там не видел, если подскажете хотя бы главу - это будет лучше наводка. Ну и Швингера поставил в очередь.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #886712 писал(а):

Швингера не читал. С вашей терминологией не знаком, особенно если она ещё и разная.

Зря. Швингер хорош именно тем, что подробно обсуждает физический смысл. А то часто швингеровские источники, уравнения Швингера в вариационных производных и т.п. трактуют чисто как математический трюк. Что, на мой взгляд, в корне неверно. Формализм, пожалуй, по нему изучать довольно трудно. Помнится была книжка Васильева, что-то вроде "Функциональные методы КТП", но ее я почти не помню, помню лишь что она более формального плана. Ну а совсем кратко --- Рамон. Никаких чудес там нет, просто правильная изначальная "идеология". Самые первые главы.

Ну а терминология довольно стандартная (если не брать 50-годы, где-то так с 80-х).

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #886729 писал(а):

Зря. Швингер хорош именно тем, что подробно обсуждает физический смысл.

Вообще сегодня впервые узнал про эту книгу. Так что нечего тут "зрякать".