Натуральные числа в целочисленных точках плоскости (нмпз)

[Ktina]

Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?

Либо я не понимаю условие, либо задача легко решается. Действительно, пусть числа $m$ и $n$ - взаимно простые. Тогда на прямой, соединяющей точки, в которых эти числа записаны, не может лежать больше ни одного числа (иначе не будет выполняться «только тогда»), но это противоречит условию, так как числа должны быть записаны во всех целочисленных точках, а не только в некоторых. Следовательно, среди всех записанных чисел не должно найтись ни одной пары взаимно простых. Но это означает, что все записанные числа должны иметь общий делитель, больший 1, однако в этом случае не выполняется «тогда». Таким образом, ответ на задачу отрицателен.

И чем моё решение хуже авторского?

[Xaositect]

Ktina в сообщении #886044 писал(а):

Либо я не понимаю условие, либо задача легко решается. Действительно, пусть числа $m$ и $n$ - взаимно простые. Тогда на прямой, соединяющей точки, в которых эти числа записаны, не может лежать больше ни одного числа (иначе не будет выполняться «только тогда»), но это противоречит условию, так как числа должны быть записаны во всех целочисленных точках, а не только в некоторых. Следовательно, среди всех записанных чисел не должно найтись ни одной пары взаимно простых. Но это означает, что все записанные числа должны иметь общий делитель, больший 1, однако в этом случае не выполняется «тогда». Таким образом, ответ на задачу отрицателен.

В условии ничего не сказано про то, что все числа должны присутствовать. Может быть, там нет пар взаимно простых чисел.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #886045 писал(а):

В условии ничего не сказано про то, что все числа должны присутствовать. Может быть, там нет пар взаимно простых чисел.

Ktina в сообщении #886044 писал(а):

Следовательно, среди всех записанных чисел не должно найтись ни одной пары взаимно простых. Но это означает, что все записанные числа должны иметь общий делитель, больший 1, однако в этом случае не выполняется «тогда».

[Xaositect]

Ktina в сообщении #886046 писал(а):

Следовательно, среди всех записанных чисел не должно найтись ни одной пары взаимно простых. Но это означает, что все записанные числа должны иметь общий делитель, больший 1.

Сорри, не дочитал. Это неправда. Может быть, каждая пара чисел имеет нетривиальный общий делитель, но все вместе не имеют общего делителя кроме 1.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #886047 писал(а):

Это неправда. Может быть, каждая пара чисел имеет общий делитель, но все не имеют общего делителя.

Ваас не затруднит привести пример?

[Xaositect]

Например, если все числа равны 6, 10 или 15.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #886049 писал(а):

Например, если все числа равны 6, 10 или 15.

Да, Вы праавы

-- 10.07.2014, 01:28 --

(Оффтоп)

Уже второй год не курю. Каак пропаали тогда (при бросаании) математические способности, таак и след их простыл.

[Keter]

(Оффтоп)

Ktina, пора начинать снова И сразу с самых тяжелых, (12 и 1,1) например.

[ET]

(Оффтоп)

Та же фигня, что и у Ktina. Снова начать не помогло. Боюсь 2й раз бросать

[atlakatl]

(Оффтоп)

А я бросал по российской книжке: с самовнушениями, ежедневными творческими ответами на анкету, рассказами окружающим о вреде курения… Помогло. Хотя выкуривал 25 штук бесфильтровой «Примы», СПБ, - самой крепкой.
Последствия только благоприятные. Правда, с полгода где-то раз в месяц снился один и тот же сон: курю, - и в ужасе думаю: а что я делаю?! Просыпаюсь в поту: слава богу, это только сон.
Думаю, чтение «Лёгкого способа» Карра на меня бы не подействовало.

[Ktina]

atlakatl в сообщении #886140 писал(а):

(Оффтоп)

... снился один и тот же сон: курю, - и в ужасе думаю: а что я делаю?! Просыпаюсь в поту: слава богу, это только сон. ...

(Оффтоп)

Точь-в-точь каак у меня

[Deggial]

Убедительная просьба перевести данный оффтоп в пространство ЛС.