Нелинейный дифур. Посоветуйте литературу.

[MacSinus]

Добрый день. Возникла такая проблемка. Есть уравнение второго порядка нелинейное, нестационарное, очень плохое. Сопсно вот:
$\ddot{\varphi} + \gamma \dot{\varphi} + \xi \sin{\omega t} \sin{\varphi} = 0,$
$\xi, \gamma, \omega$ --- постоянные. Аналитическое решение имеет наврятли, но и не так важно.

Моделирование показало, что имеется три режима в зависимости от соотношения констант (фазовые траектории выложу вечером, когда доберусь до домашнего компа):
1) Затухающий --- со временем решение приходит к $\varphi \rightarrow n\pi, \dot{\varphi} \rightarrow 0$.
2) Колебательный --- фазовая траектория весьма сложна и неразборчива (выложу вечером).
3) Следующий --- фазовая траектория представляет собой выход на некоторый колебательный режим вида $\dot{\varphi} = \omega + \sin{\omega' t}$. Прямая подстановка ничего не дала, решением очевидно не является, а про приближенное я не догнал.

Собственно вопрос в том: кто-нить сталкивался с подобным? Нужны условия перехода в той или иной режим. Литературу, где почитать про это можно?

И да, где-то я видел, что уравнение типа $y'' = b \sin y$ допускает аналитическое решение. А что там за подстановка была и как быть с ур-м $\ddot{\varphi} + \gamma \dot{\varphi} + \xi \sin{\varphi} = 0$?

Если вдруг кто посоветуе хорошую литературу -- большое спасибо!

P.S. И да, конечно есть какая-то зависимость от начальных условий при выходе на тот или иной режим, но в самой модели я по очевидным физическим причинам ввожу слабый белый шум, который обеспечивает выход на тот или иной режим при заданных начальных условиях.

[Pphantom]

Это очень похоже на негармоническую осциллятор с затуханием. По идее, можно получить условия на реализацию того или иного режима из физических соображений. Что-то более строгое сделать вряд ли удастся - эта штука сильно напоминает усложненный осциллятор Дуффинга, а уже там все очень плохо.

[Oleg Zubelevich]

без потери общности можно считать, что $\omega =1$
исследовать устойчивость решений $\varphi=0,\pi\pmod{2\pi}$ можно попробовать с помощью первого метода Ляпунова, вычисляя на компьютере мультипликаторы. (Демидович, Лекции по математической теории устойчивости)

[ewert]

MacSinus в сообщении #885682 писал(а):

И да, где-то я видел, что уравнение типа $y'' = b \sin y$ допускает аналитическое решение. А что там за подстановка была и как быть с ур-м $\ddot{\varphi} + \gamma \dot{\varphi} + \xi \sin{\varphi} = 0$?

Это -- автономные уравнения и потому допускают понижение порядка заменой $y'(t)=p(y)$ и, соответственно, $\varphi'(t)=p(\varphi)$. Разница в том, что в первом случае переменные после такой замены разделяются, а во втором -- нет.

[Oleg Zubelevich]

MacSinus в сообщении #885682 писал(а):

уравнение второго порядка нелинейное, нестационарное, очень плохое. Сопсно вот:
$\ddot{\varphi} + \gamma \dot{\varphi} + \xi \sin{\omega t} \sin{\varphi} = 0,$

сдается мне, что это уравнение маятника с вибрирующей точкой подвеса и вязким трением. а Вы там часом силу тяжести не забыли?

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим задачу в следующей постановке $\omega=1,\quad \xi=a\epsilon,\quad \gamma=b\epsilon$ где
$a,b,\epsilon$ -- параметры, причем $b,\epsilon>0$ и $\epsilon$ -- мало:

$$\ddot{\varphi} +b\epsilon \dot{\varphi} +a\epsilon\sin{ t} \sin{\varphi} = 0$$

Это означает, что вязкость мала, амплитуда колебаний точки подвеса тоже мала.

Cделаем замену переменных: $\varphi= t+\psi$ :

$$\ddot\psi+b\epsilon+b\epsilon\dot\psi+a\epsilon\sin t\sin( t+\psi)=0\quad (*)$$

и усредним по $t$:

$$\ddot\psi+b\epsilon+b\epsilon\dot\psi+a\epsilon\frac{1}{2}\cos\psi=0\qquad (**)$$

Из общих теорем следует, что решение системы (**) и решение системы (*) с одинаковыми начальными данными остаются $\epsilon-$близкими на интервале времени порядка $1/\epsilon$.

Система (**) представляет собой натуральную гамильтонову систему с потенциалом

$$V(\psi)=\epsilon\Big(b\psi+\frac{a}{2}\sin\psi\Big),$$

находящуюся под действием вязкого трения $b\epsilon\dot\psi$.

Разглядывание потенциала $V$ при различных значениях параметров и построение фазового портрета усредненной системы представляет некоторый интерес.

-- Чт июл 10, 2014 16:19:36 --

при достаточно малых $\epsilon$, невырожденным $2\pi$- периодическим решениям усредненной системы соответствуют $2\pi$-периодические решения системы (*)

[Oleg Zubelevich]

Что характерно для данного форума: вот эта глубоко нетривиальная и богатая эффектами задача исследовательского уровня ни кого не заинтересовала. Ну куда же подевались вдруг все спецы по анализу , дифференциальным уравнениям и динамическим системам?