Идемпотентность и инволюция

[Bonaqua]

Собственно, вопрос такой: в чем различие между двумя этими терминами? Ей Богу, что одно указывает на такую операцию, при которой объект остается тем же объектом, что другое.

Специально для ленивых и бюрократов
Идемпотентность — термин, означающий свойство математического объекта, которое проявляется в том, что повторное действие над объектом не изменяет его.
Инволюция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Таки дайте необходимые определения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Aritaborian]

...А теперь попробуем закрыть глаза, открыть глаза и посмотреть на эти определения снова. Первое обозначает свойство объекта. Второе обозначает преобразование.
Снова закрываем глаза, открываем глаза. Смотрим. Думаем.
И так до полного просветления.

[Xaositect]

Bonaqua в сообщении #885572 писал(а):

Идемпотентность — термин, означающий свойство математического объекта, которое проявляется в том, что повторное действие над объектом не изменяет его.
Инволюция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе.

Закройте то, откуда Вы это переписали, и найдите нормальную книжку, с формулами.

Инволюция - это отображение $f\colon X \to X$, обратное самому себе, то есть $f(f(x)) = x$ для любого $x\in X$.
Элемент $e$ множества $A$ с заданной на нем бинарной операцией $\circ$ называется идемпотентным, если $e\circ e = e$.
(В частности, отображение $f\colon X \to X$ будет идемпотентным, если $f\circ f = f$, то есть $f(f(x)) = f(x)$ для любого $x\in X$. Заметьте отличие от определения инволюции)

[Red_Herring]

Действительно, определение идемподентности приведенное здесь имеется в
http://ru.wikipedia.org/wiki/Идемпотентность
Это "улучшение" (а на самом деле ошибка) было внесено с IP 195.62.14.150 1 июля 2009 года. Правильное определение было до того

Цитата:

Идемпотентный элемент в алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при возведении в степень.

Ср. с
http://en.wikipedia.org/wiki/Idempotence

Цитата:

Idempotence is the property of certain operations in mathematics and computer science, that can be applied multiple times without changing the result beyond the initial application.

что означает, что повторное применение операции дает то же самое, что и однократное.

(Оффтоп)

195.62.14.150 (по крайней мере в настоящее время) = ozis.kr.ua. С этого адреса вообще много чего запостировано
http://ru.wikipedia.org/wiki/Служебная:Вклад/195.62.14.150

[Bonaqua]

Aritaborian в сообщении #885584 писал(а):

И так до полного просветления.

Это все привилегии википедии, называть одно свойством, а другое преобразованием. Смысл остается в том, что как одно, так и другое, оба собой представляют некоторую унарную операцию. Свойство это, или нет - как вообще можно по это ориентироваться?
Вот, например, такая тавтология как $\lnot ( \lnot A)$ является идемпотентной или инволюционной? А вообще, сложилось такое мнение, что любая идемпотентность является инволюцией, в то время как не каждая инволюция является идемпотентностью. Верно?

[Xaositect]

Bonaqua в сообщении #885591 писал(а):

Это все привилегии википедии, называть одно свойством, а другое преобразованием. Смысл остается в том, что как одно, так и другое, оба собой представляют некоторую унарную операцию.

Нет, различие есть. Идемпотентность и инволютивность - это свойства унарных операций. А сами операции, соответственно, идемпотенты и инволюции. И эти слова надо употреблять правильно, это элементарная математическая грамотность. Иначе Вас, может быть, и поймут, но поправят и заметят, что Вы не имеете четкого понятия, о чем говорите.

Bonaqua в сообщении #885591 писал(а):

Вот, например, такая тавтология как $\lnot ( \lnot A)$ является идемпотентной или инволюционной?

Ни тем, ни другим, так как она не является унарной операцией. Она является формулой.

Bonaqua в сообщении #885591 писал(а):

А вообще, сложилось такое мнение, что любая идемпотентность является инволюцией, в то время как не каждая инволюция является идемпотентностью. Верно?

Читаю здесь "идемпотента" вместо "идемпотентность". Нет, это неверно. Например, любая нетривиальная проекция идемпотентна, но не инволютивна.

[Bonaqua]

Xaositect в сообщении #885593 писал(а):

А сами операции, соответственно, идемпотенты и инволюции.

Хм, понял, спасибо. $1^{1}$ идемпотентна? Или инволютивна?

[Xaositect]

$1^1$ - это не унарная операция. Это число.

[Aritaborian]

Так это тоже не операция. Это просто выражение, оно вообще ничего не значит.

[Bonaqua]

Можете тогда привести какой-нибудь пример что ли

[Xaositect]

Тождественное отображение - идемпотентно и инволютивно. Для фиксированного множества это единственная операция, обладающая обеими свойствами.
В геометрии проекция, например, пространства на какую-нибудь плоскость - идемпотентна. Симметрия относительно плоскости - инволютивна.
Комплексное сопряжение - инволюция. Обращение положительного действительного числа - инволюция. Функция $\frac{x + |x|}{2}$ на $\mathbb{R}$ - идемпотента.

[Munin]

Умножение действительного числа на $0$ - идемпотентно, но не инволютивно. $0\cdot 0\cdot x=0\cdot x.$
Умножение действительного числа на $-1$ - инволютивно, но не идемпотентно. $(-1)\cdot(-1)\cdot x=x.$

[Bonaqua]

Все, врубился. Большущее спасибо