Свойство винеровского процесса.

[askmyhat]

Как найти математическое ожидание времени пребывания траектории винеровского процесса над прямой $y=t$?

Я пытаюсь найти функцию плотности.
Пусть $\tau$ -- случайная величина, ожидание которой нужно найти.
Пусть $a, b$ -- какие-то точки, $0\leq a<b<\infty$.
Зададим последовательность $t_k, 1\leq k\leq n: t_0=a, t_1=a+\frac{b-a}{n}, t_2=a+2\times\frac{b-a}{n},\ldots,t_n=b$.

Тогда
$P\left(\forall t\in\left(a,b\right): W_t>t\right)=\lim\limits_{n\to\infty}P\left(\forall k: W_{t_{k+1}}-W_{t_k}>\frac{b-a}{n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=0}^{n-1}P\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}>\frac{b-a}{n}\right)$.

По определению, приращение винеровского процесса является случайной величиной с нормальным распределением, имеющим нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную приращению времени. Поэтому

$\forall k: P\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}>\frac{b-a}{n}\right)=1-\chi_{\frac{n}{b-a}}$,

где $\chi_x$ -- квантиль стандартного нормального распределения в точке $x$, то есть $\chi_x=P\left(N(0,1)<x\right)$

Получается, что
$P\left(\forall t\in\left(a,b\right): W_t>t\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\chi_{\frac{n}{b-a}}\right)^n$.

Как из этого можно построить функцию плотности для $\tau$?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Тема возвращена.

[askmyhat]

Хотя, очевидно, что последний предел равен нулю. Как-то нужно оценить вероятность попадания точек $a,b$ в какой-то интервал. Как это можно сделать?

[Henrylee]

askmyhat в сообщении #884691 писал(а):

Зададим последовательность $t_k, 1\leq k\leq n: t_0=a, t_1=a+\frac{b-a}{n}, t_2=a+2\times\frac{b-a}{n},\ldots,t_n=b$.

Тогда
$P\left(\forall t\in\left(a,b\right): W_t>t\right)=\lim\limits_{n\to\infty}P\left(\forall k: W_{t_{k+1}}-W_{t_k}>\frac{b-a}{n}\right)$.

Это почему?

askmyhat в сообщении #884691 писал(а):

где $\chi_x$ -- квантиль стандартного нормального распределения в точке $x$, то есть $\chi_x=P\left(N(0,1)<x\right)$

Вы определение квантили вообще знаете?

[askmyhat]

Действительно, перепутали термины. И равенство неверное написал. Заучился совсем.
Зато нашёл решение задачи.

$\tau=\int\limits_0^\infty I\left(W_t>t\right)dt$.

Далее применяем теорему Фубини о перестановке интегралов и равенство для неотрицательных случайных величин
$\mathbb{E}X=\int\limits_0^\infty P\left(X>t\right)dt$,
которое можно получить из определения математического ожидания с помощью интегрирования по частям и того факта, что $1-F_X=o\left(\frac{1}{x}\right)$, при $x\to\infty$.

$\mathbb{E}\tau=\mathbb{E}\left(\int\limits_0^\infty I\left(W_t>t\right)dt\right)=\int\limits_0^\infty\mathbb{E}\left(I\left(W_t>t\right)\right)dt=\int\limits_0^\infty P\left(W_t>t\right)dt=\int\limits_0^\infty\frac{1}{2}P\left(N^2>t\right)dt=\frac{1}{2}\mathbb{E}\left(N^2\right)=\frac{1}{2}$.