Марковский момент винеровского процесса

[askmyhat]

Пусть $W_t$ - винеровский процесс, $\tau=\inf\{t: W_t>t\}$.
Чему равно $\mathbb{E}\tau$?

Могут помочь следующие утверждения:
- теорема Башелье: $\sup\limits_{0\leq t\leq T}W_t\,{\buildrel d \over =}\,|W_T|$
- принцип инвариантности Прохорова: $\frac{S\left(nt\right)}{\sigma\sqrt{n}}=\frac{S_{[nt]}}{\sigma\sqrt{n}}+\frac{\left(nt-[nt]\right)X_{\rbrack nt\lbrack}}{\sigma\sqrt{n}}=Y_n\xrightarrow{D}\sqrt{t}N\,{\buildrel d \over =}\,W_T$

$[x]$ - округление до целого в меньшую сторону
$\rbrack x\lbrack$ - округление до целого в большую сторону

-- 05.07.2014, 01:33 --

Я пытаюсь решить задачу через приближение.
Пусть $t_n$ монотонная быстро убывающая последовательность.
Пусть $X_{t_n}=\frac{W_{t_n}}{\sqrt{t_n}}$.
Тогда $Cov\left(X_n, X_m\right)=\frac{\min\{t_n,t_m\}}{\sqrt{t_nt_m}}=\sqrt{\frac{t_n}{t_m}}<\varepsilon$ при достаточно быстром убывании $t_n$, поэтому величины асимптотически независимы.
$P\left(\exists k\in(1,n): X_k>t_k\right)=1-P\left(\forall k\in(1,n): X_k<t_k\right)\approx 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 1$.
Но этот переход не могу обосновать. Если он верный, то $\tau=0$ почти наверное.

[askmyhat]

Преподаватель рассказал решение.
$P\left(\forall k\leq n: W_{t_k}<t_k\right)=P\left(\forall k\leq n: W_{t_{k+1}}-W_{t_k}<t_{k+1}-t_k\right)=\\=\prod\limits_{k=1}^{n-1}P\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}<t_{k+1}-t_k\right)=\\=\prod\limits_{k=1}^{n-1}P\left(\frac{W_{t_{k+1}}-W_{t_k}}{\sqrt{t_{k+1}-t_k}}<\sqrt{t_{k+1}-t_k}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\xrightarrow{n\to\infty}0$,
при достаточно быстром убывании $t_n$, так как $\frac{W_{t_{k+1}}-W_{t_k}}{\sqrt{t_{k+1}-t_k}}\sim N(0,1)$

[Henrylee]

askmyhat в сообщении #884413 писал(а):

$P\left(\forall k\leq n: W_{t_k}<t_k\right)=P\left(\forall k\leq n: W_{t_{k+1}}-W_{t_k}<t_{k+1}-t_k\right)$

Очень сомневаюсь.

[askmyhat]

Henrylee в сообщении #884657 писал(а):

askmyhat в сообщении #884413 писал(а):

$P\left(\forall k\leq n: W_{t_k}<t_k\right)=P\left(\forall k\leq n: W_{t_{k+1}}-W_{t_k}<t_{k+1}-t_k\right)$

Очень сомневаюсь.

Тут, конечно же, опечатка. Во второй вероятности $k\leq n-1$.

Действительно, непонятно это равенство. На первый взгляд показалось верным.

[Henrylee]

Попробуйте поковырять в таком направлении

$$ \left\{\tau<T\right\}=\left\{\sup\limits_{0\leqslant t\leqslant T}(W_t-t)>0\right\} $$