Задача из теории вероятностей

[Aarnikotka]

Добрый вечер!

Предлагаю к обсуждению задачу из учебника и два варианта ответа - из учебника и свой (они не сходятся), помогите, пожалуйста, выбрать правильный.

Задача: имеется группа из $k$ космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью $p$. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга $m$ станций. Найти вероятность того, что не все объекты группы будут обнаружены.

Предлагается вариант ответа: $1-[1-(1-p)^m]^k$

Мой вариант: $1-(p^k)^m$

Объяснение своего варианта:
$p^k$ - вероятность того, что i-ая станция обнаружит все объекты
$(p^k)^m$ - вероятность того, что все станции обнаружат все объекты
$1-(p^k)^m$ - вероятность того, что хотя бы один объект не будет обнаружен

Объяснение ответа из учебника:
$1-p$ - i-ый объект не будет обнаружен j-ой станцией
$(1-p)^m$ - i-ый объект не будет обнаружен всеми станцией
$1-(1-p)^m$ - i-ый объект будет обнаружен хотя бы одной станцией
а что собственно представляет из себя $1-[1-(1-p)^m]^k$ в переводе на русский?

[Otta]

Aarnikotka в сообщении #884293 писал(а):

$1-(1-p)^m$ - i-ый объект будет обнаружен хотя бы одной станцией
а что собственно представляет из себя $1-[1-(1-p)^m]^k$ в переводе на русский?

Ну а чему равна вероятность того, что все объекты будут обнаружены (хотя бы одной станцией)?

[Aarnikotka]

Подумал, нашел косяк у себя в решении: $1-(p^k)^m$ также включает в себя такой вариант: $m-1$ станция обнаружила все объекты, а одна станция не обнаружила l-ый объект. Но все равно - все объекты обнаружены. Похоже, ответ из учебника правильный, только бы разобрать его...

[Otta]

Ваша ошибка в том, что Вы требуете слишком многого. Вы хотите, чтобы все станции видели все объекты. Для обнаружения это не нужно.

[Aarnikotka]

$[1-(1-p)^m]^k$ - каждый объект обнаружен хотя бы одной из станций?

[Otta]

Конечно.

[Aarnikotka]

Ясно, спасибо!