Счетность множеств

[____]

Доказать, что если $X$ счетно, а $Y$ конечно и непусто, то $X \times Y$ счетно.
Доказать, что объединение конечного числа счетных множеств счетно.

Будет ли ниженаписанное (если оно верно) решением для обеих этих задач ?
1) Пусть $f: X \to \mathbb{N}$ и $g: Y \to \{1,2, ..., n\}$ биективны. Тогда $h: X \times Y \to \mathbb{N}$, $(x,y) \mapsto f(x)n + g(y)$ -- биекция.
2) Дано $n$ счетных множеств. Каждому элементу $x$ каждого счетного множества $X$ можно поставить в соответствие элемент $\mathbb{N}$. Каждому $X$ можно поставить в соответствие некоторый элемент $\{1, 2, ..., n\}$, т.е. занумеровать эти множества. Если рассматривать элементы объединения этих множеств как упорядоченные пары $(x, y)$, где $x$ -- это элемент множества $X$, а $y$ -- номер $X$, то биекцией можно считать отображение $h: X \times Y \to \mathbb{N}$ из первой задачи.

[iifat]

Первое — почти верно, таки у вас $h(1,1)=n+1$, второе не совсем: множества могут пересекаться. Выкрутиться можно, но вспомнить стоит.

[____]

Цитата:

таки у вас $h(1,1)=n+1$

А в чем здесь проблема ? При определенном $n$ получается взаимно-однозначно,зная $n$, по каждому элементу из $\mathbb{N}$ можно получить как частное и остаток от деления $x$ и $y$.

[iifat]

Вообще говоря, требуется взаимно-однозначное соответствие, а в единицу ничего не отображается.

[____]

iifat в сообщении #883419 писал(а):

Вообще говоря, требуется взаимно-однозначное соответствие, а в единицу ничего не отображается.

Я брал $\mathbb{N}$ с нулем и получается для $h(0, 1) = 0n + 1 = 1$

[iifat]

Тогда в нуль ничего не отображается