Просьба подсказать, есть ли в рассуждениях ниже ошибки. Решение давать не надо (спрячьте под спойлер либо ссылкой), охота самому подумать.
Вопрос: можно ли на счётном множестве задать топологию, которая не имеет счётной базы?
Ответ - да: неглавный ультрафильтр (плюс пустое множество). Доказательство от противного. Пусть

- база. Тогда построим два множества

и

таким образом. Выбираем в

две точки

и

. Одну кидаем в

, другую в

. Для

аналогично выбираем две точки, которых нет ни в

, ни в

. Поскольу все множества фильтра бесконечны, выбор можно сделать для все[

.
Теперь заметим, что каждое множество ультрафильтра является надмножеством какого-то множества базы.

имеет непустое пересечение со всеми

. С другой стороны, ни одно из

не является подмножеством

благодаря точкам, которые мы предусмотрительно выкинули в

. Значит, наш ультрафильтр можно расширирить, добавив

и все его надмножества - противоречие.
Дальше возникает естественный вопрос - а что, если потребовать хаусдорофовость?
Приходит в голову похожая конструкция. Рассмотрим множество всех хаусдорфовых топологий без изолированных точек (

все открытые бесконечны). Частично упорядочим их по включению. Пусть

- какая-то цепь. Объединение этих множеств будет замкнуто относительно конечных пересечений. Действительно, пусть

, ...

. Тогда все

будут открытыми в топологии с максимальным индексом и их пересечение тоже открыто и бесконечно. В результате цепь имеет верхнюю грань - всевозможные объединения множеств из топологий цепи. Следовательно, существует максимальный эелемент - хаусдорфова топология без изолированных точек. Вывод меня немного смущает. Кажется, что где-то допустил глупую ошибку. Но вот найти её не могу.
Аналогично доказывается, что полученное извращение подходит под условия. Пусть

- база. Строим

и

как и раньше. В результате

всюду плотно, но не открыто и топологию можно расширить добавив к базе пересечения

со всеми открытыми.