Общая топология - извращения

[deep down]

Просьба подсказать, есть ли в рассуждениях ниже ошибки. Решение давать не надо (спрячьте под спойлер либо ссылкой), охота самому подумать.
Вопрос: можно ли на счётном множестве задать топологию, которая не имеет счётной базы?
Ответ - да: неглавный ультрафильтр (плюс пустое множество). Доказательство от противного. Пусть $\{U_i|i\in\mathbb{N}\}$ - база. Тогда построим два множества $A$ и $B$ таким образом. Выбираем в $U_1$ две точки $u_1$ и $v_1$. Одну кидаем в $A$, другую в $B$. Для $U_2$ аналогично выбираем две точки, которых нет ни в $A$ , ни в $B$. Поскольу все множества фильтра бесконечны, выбор можно сделать для все[ $\{U_i\}$.
Теперь заметим, что каждое множество ультрафильтра является надмножеством какого-то множества базы. $A$ имеет непустое пересечение со всеми $\{U_i\}$. С другой стороны, ни одно из $\{U_i\}$ не является подмножеством $A$ благодаря точкам, которые мы предусмотрительно выкинули в $B$. Значит, наш ультрафильтр можно расширирить, добавив $A$ и все его надмножества - противоречие.
Дальше возникает естественный вопрос - а что, если потребовать хаусдорофовость?
Приходит в голову похожая конструкция. Рассмотрим множество всех хаусдорфовых топологий без изолированных точек ($=$ все открытые бесконечны). Частично упорядочим их по включению. Пусть $\{T_\alpha\}$ - какая-то цепь. Объединение этих множеств будет замкнуто относительно конечных пересечений. Действительно, пусть $U_1\subset T_{\alpha_1}$, ... $U_n\subset T_{\alpha_n}$. Тогда все $U_k$ будут открытыми в топологии с максимальным индексом и их пересечение тоже открыто и бесконечно. В результате цепь имеет верхнюю грань - всевозможные объединения множеств из топологий цепи. Следовательно, существует максимальный эелемент - хаусдорфова топология без изолированных точек. Вывод меня немного смущает. Кажется, что где-то допустил глупую ошибку. Но вот найти её не могу.
Аналогично доказывается, что полученное извращение подходит под условия. Пусть $\{U_i\}$ - база. Строим $A$ и $B$ как и раньше. В результате $A$ всюду плотно, но не открыто и топологию можно расширить добавив к базе пересечения $A$ со всеми открытыми.

[Oleg Zubelevich]

deep down в сообщении #883094 писал(а):

Вопрос: можно ли на счётном множестве задать топологию, которая не имеет счётной базы?

наверное на этот предмет надо проверять дискретную топологию потому, что она самая сильная

[g______d]

Благодаря Вашему вопросу открыл для себя Spacebook.

[Foxer]

Oleg Zubelevich в сообщении #883097 писал(а):

наверное на этот предмет надо проверять дискретную топологию потому, что она самая сильная

Отнюдь не очевидное утверждение. Может можно придумать какую-то сильно извращенную топологию, где из элементов базы мало что можно будет составить.

[deep down]

Дискретная не подходит - у неё есть база из одноэлементых множеств. Очевидно, счётная.

[Oleg Zubelevich]

Еще такое неформиальное рассуждение. Берем стандартное банахово пространство $l_1$ оно сепарабельно, пусть $M\subset l_1$ -- счетное всюду плотное подмножество. Теперь вводим в $l_1$ слабую топологию, она неметризуема, зачит сченого базиса окрестностей быть не должно. ($M$ плотно и в слабой топологии) Индуцируем слабую топологию на $M$. Является ли $M$ искомым примером?

[deep down]

Oleg Zubelevich в сообщении #883116 писал(а):

неметризуема, зачит сченого базиса окрестностей быть не должно

А как это можно доказать? В остальном похоже на правду.

[Oleg Zubelevich]

предположим есть счетный базис окрестностей начала, тогда внутри каждой окрестности базиса содержится абсолютно выпуклая и поглощающая окрестность (пространство-то локально выпуклое). Эти выпуклые окрестности образуют базис; по ним строим полунормы $\|\cdot\|_k,\quad k\in\mathbb{N}$ метрика задается формулой

$$d(x,y)=\sum_k\min\{1,\|x-y\|_k\}/2^k$$

Противоречие -- слабая топология неметризуема
Вроде так

-- Ср июл 02, 2014 15:07:45 --

из этого рассуждения еще не следует, что в $M$ нет счетного базиса, это как-то проверять надо, используя всюду плотность

[Oleg Zubelevich]

да, пример проходит