Дисперсия распределения симм. случ. блуждания после m этапов

[eugrita]

Ранее я писал на тему т.н. задачи о разорении.http://dxdy.ru/topic61771.html
Задача о разорении в постановке выигрыш-проигрыш на сумму =1 с вероятностями $p=q=0.5$ является симметричным случайным блужданием при условии когда число этапов $m<K$.
где $K$ -начальный капитал игрока (начальная точка).
При $m \ge K$ на части траекторий срабатывает условие разорения и ветвь процесса заканчивается.
Возникла необходимость оценки дисперсии распределения с.в.
капитала игрока после $m$ этапов.
При $m<K$ имеем дискретную центрированную с.в.
$X_c=-m+2i$ с вероятностями $P_i=C^i_m\cdot2^{-m}$
т.е дискретное распределение похожее на биномиальное но с не идущими подряд целыми значениями а с шагом 2 (т.е. с.в. имеет ряд или четных или нечетных значений). Примеры
$m=2, X=(-2,0,2),p=(\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4})$
$m=3, X=(-3,-1,1,3),p=(\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8})$
$m=4, X=(-4,-2,0,2,4),p=(\frac{1}{16},\frac{4}{16},\frac{6}{16},\frac{4}{16},\frac{1}{16})$
и т.п
Имеет ли такое распределение название? Можно ли найти его дисперсию пользуясь формулой дисперсии биномиального $D=mpq=0.25m$ ?? или как иначе получить формулу дисперсии?
$D=\sum{(-m+2i)^2 \cdot C^i_m\cdot2^{-m} }$

[Henrylee]

Случайное блуждание у вас это сумма независимых слагаемых. Вот и ищите дисперсию отдельного слагаемого. Дальше очевидно

[eugrita]

Да я придел к ответу $D=m$
рассчитывая по прямой форме. Для нахождения сумм из сочетаний пришлось использовать метод производящих функций . Сделал но не очень просто.
А по вашему -
каждое слагаемое принимает значение 1 и -1 с вероятностью 0.5 cреднее=0 т.е $D_i=\frac{(-1-0)^2+(1-0)^2}{2}=1$
Дисперсия суммы независимых слагаемых=сумме дисперсий т.е. $D=m \cdot D_i =m \cdot 1=m$
Так быстрее.
Любопытно также и то в этом блуждании что если матожидание возможных состояний совпадает с $K$ при $m<K$ то при
$m \ge K$ вступает в действие разорение. И можно говорить лишь об условных вероятностях $P_m(X=X_k)$ (при условии что игрок не разорился и траектории в любой точке были выше 0).
При этом симметрия видимо нарушается и условное матожидание будет несколько выше $K$ (за счет отбрасывания разорившихся траекторий)
Я делал компьютерный расчет функции распределения и закона разорения на $m$ этапах При этом сознаю низкое быстродействие этих расчетов даже при $m \ge 15$ в силу резкого роста вычислительной сложности.
Мне интересно было применить расчеты (или математические оценки, если их возможно сделать) для оценки стратегии игрока в текущей позиции $K$ Например на простом варианте - игрок в любой момент может 1 или несколько раз удвоить ставку. Т.е ставить на кон не 1 а 2.
Можно ли оценить математически не прибегая к компьютерным расчетам, что вероятность разорения при игре по двойным ставкам (или хотя бы по нескольким из этапов с двойными) будет больше чем при игре при ставке=1 при одинаковой исходной позиции на каждом этапе ?
Как известно, стратегии могут быть разными а)максимизация матожидания выигрыша при условии неразорения б)пассивная - минимизация вероятности разорения