Теория множеств

[Bonaqua]

Хотелось бы себя проверить.

1) Дано:
$A=\left\{ 0,1,2,3,5,6 \right\};B=\left\{ 3,4,6,7,9 \right\};C=\left\{ 0,5,6,7,8 \right\}$
$B \setminus (A \cap C^{ \complement }) = \left\{ 4,6,7,9 \right\}$

2) Дано:
$A=\left\{ 0,1,2,5 \right\}; B=\left\{ 1,2 \right\}; C=\left\{ 2,5,7 \right\}$
$(A \cup B \cup C^{ \complement }) \setminus \left\{ B \cup C \right\} = \left\{ 0,3,4,6 \right\}$

3) Указать $\varnothing$, если
$A \subseteq B \subseteq C , A \ne \varnothing , C^{ \complement } \ne \varnothing$

$1) (B \setminus C) \cap (A \cup B)= \varnothing$
$2) C \cap (B \setminus A^{ \complement } \ne \varnothing$
$3) (A \cap B^{ \complement }) \cup (B \setminus C) \ne \varnothing$
$4)C \cup (A^{ \complement } \setminus B^{ \complement }) \ne \varnothing$

4)Упростить:

$A \,\triangle\, A \,\triangle\, A \,\triangle\, A = \varnothing$
$A \,\triangle\, A^{ \complement } \cap B^{ \complement } \,\triangle\, A^{ \complement } \cap B = A$
$I \,\triangle\, B \,\triangle\, B \,\triangle\, B = I \,\triangle\, B$


--
Если $I=\left\{ 1,...,10} \right\} ; A=\left\{ 1,2,3} \right\}$
$A \setminus I = \left\{ 4,5,6,7,8,9,10 \right\}?

Дополнение везде до булеана

[Someone]

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

Дополнение везде до булеана

??? До какого "булеана"? Укажите конкретно, относительно какого множества берётся дополнение.

[Bonaqua]

Someone в сообщении #882980 писал(а):

??? До какого "булеана"? Укажите конкретно, относительно какого множества берётся дополнение.

До соответственного каждой задаче.
$1)\left\{ 0,...,9 \right\}$
$2)\left\{ 0,...,7 \right\}$

[arseniiv]

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

Если $I=\left\{ 1,...,10} \right\} ; A=\left\{ 1,2,3} \right\}$
$A \setminus I = \left\{ 4,5,6,7,8,9,10 \right\}$?

Нет, $\varnothing$.

[Someone]

Bonaqua в сообщении #882982 писал(а):

До соответственного каждой задаче.
$1)\left\{ 0,...,9 \right\}$
$2)\left\{ 0,...,7 \right\}$

Почему это вдруг называется "булеаном"? Булеан — это нечто совершенно другое.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

1) $B \setminus (A \cap C^{ \complement }) = \left\{ 4,6,7,9 \right\}$

Верно.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$(A \cup B \cup C^{ \complement }) \setminus \left\{ B \cup C \right\} = \left\{ 0,3,4,6 \right\}$

Верно.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$1) (B \setminus C) \cap (A \cup B)= \varnothing$

Верно.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$2) C \cap (B \setminus A^{ \complement } \ne \varnothing$

Пропущена правая скобка, которую можно поставить двумя способами (после $A$ и после $\complement$). Впрочем, в обоих случаях результат $\neq\varnothing$.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$3) (A \cap B^{ \complement }) \cup (B \setminus C) \ne \varnothing$

Верно.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$4)C \cup (A^{ \complement } \setminus B^{ \complement }) \ne \varnothing$

Верно.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$A \,\triangle\, A \,\triangle\, A \,\triangle\, A = \varnothing$

Верно.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$A \,\triangle\, A^{ \complement } \cap B^{ \complement } \,\triangle\, A^{ \complement } \cap B = A$

Мне неясен здесь порядок выполнения операций. Не могли бы Вы это уточнить? Например, расставить скобки. Если понимать старшинство операций так, как его понимаю я, то результат неверен. Или множества $A$ и $B$ не произвольные и удовлетворяют каким-то не указанным условиям?

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$I \,\triangle\, B \,\triangle\, B \,\triangle\, B = I \,\triangle\, B$

Верно.

P.S. Не нужно включать в формулы номера пунктов.
В качестве символа операции "симметрическая разность" лучше использовать \bigtriangleup: $A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$. В этом случае автоматически выставляются правильные пробелы вокруг символа операции.
В качестве многоточия в формулах лучше использовать \ldots: $I=\{1,\ldots,10\}$.
Команды \left и \right Вы написали без надобности (и они не произвели никакого эффекта). Их нужно использовать тогда, когда требуются высокие скобки.

[Bonaqua]

arseniiv в сообщении #883009 писал(а):

Нет, $\varnothing$.

Точно, спасибо

Someone в сообщении #883010 писал(а):

Почему это вдруг называется "булеаном"? Булеан — это нечто совершенно другое.

Мне показалось, что множество всех подмножеств здесь подойдет в самый раз за то, до чего собственно дополнять. Значит, целесообразней вводить $I$?

Someone в сообщении #883010 писал(а):

Мне неясен здесь порядок выполнения операций. Не могли бы Вы это уточнить? Например, расставить скобки. Если понимать старшинство операций так, как его понимаю я, то результат неверен. Или множества $A$ и $B$ не произвольные и удовлетворяют каким-то не указанным условиям?

Ошибку нашел. Ответ: A^{ \complement }

Someone в сообщении #883010 писал(а):

P.S. Не нужно включать в формулы номера пунктов.

Большое спасибо, обязательно учту

Еще одна просьба
$A \bigtriangleup A^{ \complement } \bigtriangleup I = A$

[Someone]

Bonaqua в сообщении #883123 писал(а):

Мне показалось, что множество всех подмножеств здесь подойдет в самый раз за то, до чего собственно дополнять. Значит, целесообразней вводить $I$?

Для введения операции дополнения множества требуется так называемое универсальное множество, то есть, такое множество, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами. Будете Вы его обозначать $I$ или как-то ещё — абсолютно несущественно.

Bonaqua в сообщении #882967 писал(а):

$A \,\triangle\, A^{ \complement } \cap B^{ \complement } \,\triangle\, A^{ \complement } \cap B = A$

Bonaqua в сообщении #883123 писал(а):

Ошибку нашел. Ответ: $A^{ \complement }$

Скорее всего, тоже неверно. Я же просил Вас расставить в этом выражении скобки, чтобы однозначно определить последовательность операций.

Bonaqua в сообщении #883123 писал(а):

Еще одна просьба
$A \bigtriangleup A^{ \complement } \bigtriangleup I = A$

($I$ — это универсальное множество?) Нет. А чему равно $A\bigtriangleup A^{\complement}$?

P.S. Знаки доллара вокруг формул писать не забывайте. А тег Math в большинстве случаев поставится автоматически.

[Bonaqua]

Цитата:

Будете Вы его обозначать $I$ или как-то ещё — абсолютно несущественно.

Но при этом, оно не является булеаном? Можете уточнить, где целесообразней применять понятие булеан?

Someone в сообщении #883138 писал(а):

Скорее всего, тоже неверно. Я же просил Вас расставить в этом выражении скобки, чтобы однозначно определить последовательность операций.

Снова ошибку нашел

$$A \,\triangle\, A^{\complement}\cap B^{\complement}\,\triangle\, A^{\complement}\cap B = A \bigtriangleup A^{\complement}\cap B^{\complement}\bigtriangleup B = \varnothing$$

Дело в том, что не мог долго сообразить, что $A \bigtriangleup A^{\complement}$ = \varnothing (свойства-то такого формально нигде нет (имеется в виду в справочном материале))

Someone в сообщении #883138 писал(а):

($I$ — это универсальное множество?) Нет. А чему равно $A\bigtriangleup A^{\complement}$?

Да, $I$ — это универсальное множество. А здесь интересный случай. Я решил $I$ расписать как $A \cup A^{ \complement }$. Тогда

$$A \bigtriangleup A^{\complement} \bigtriangleup A \cup A^{\complement} =A \cup A \bigtriangleup \varnothing = A$$

Но с другой стороны и Вы правы, что подсказали мне с симметрической разностью первых множеств. Ответ, в таком случае, будет $I$.
Как решать будем? :)

--

Еще хотелось бы проверить на законы де Моргана, хотя бы 3 отдельных примерчика
Упростить, если $A \subseteq B , B=C$

$$(A^{ \complement } \cup B^{ \complement } \cup C^{ \complement })^{ \complement } = A \cap B$$ $$(A \cup A \cap B \cup A \cap C)^{\complement} = (A \cup B)^{\complement}$$ $$A \cup (B \cup C^{\complement})^{\complement} = A$$

[Bonaqua]

.

[Deggial]

Bonaqua, замечание за искусственный подъём темы бессодержательным сообщением.

[Bonaqua]

Deggial в сообщении #883265 писал(а):

Bonaqua, замечание за искусственный подъём темы бессодержательным сообщением.

Нет-нет, изначально на месте точки был вопрос. Просто через несколько минут я понял, что он совершенно не к месту. У вас же нет функции удаления сообщений, как тогда быть?

[Lia]

Все у нас есть. Пошарьте и найдете.

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #883267 писал(а):

Нет-нет, изначально на месте точки был вопрос. Просто через несколько минут я понял, что он совершенно не к месту.

А почему сообщение тогда не было отредактировано ни разу?

[Deggial]

Да ладно Вам, забейте.

[Mathusic]

(Оффтоп)

Bonaqua в сообщении #883267 писал(а):

Нет-нет, изначально на месте точки был вопрос. Просто через несколько минут я понял, что он совершенно не к месту.

Нужно было просто еще раз отредактировать свою точку