Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля

[Nyanfox]

Здравствуйте.
Вопрос в следующем: как проверить несмещённость и эффективность оценки параметра p отрицательного биномиального распределения с r = 2:
$P(X=m,p)=C^{m}_{m+r-1}p^{r}{(1-p)}^{m}=(m+1)p^{2}{(1-p)}^{m}$?
Сама оценка (полученная ОМП и ОММ) равна: $p=\frac{2}{2+X_{cp}}$

Не могу придумать, что делать со средним в знаменателе $M[\frac{2}{2+X_{cp}}]$ и $D[\frac{2}{2+X_{cp}}]$. Можно вроде бы попытаться разложить в ряды, но я точно не знаю - как, да и такой метод, кажется, будет весьма громоздким.

[Otta]

Ничего сверхъестественного не вижу, честно говоря, попробуйте искать непосредственно.

[ShMaxG]

Nyanfox
Попробуйте воспользоваться устойчивостью этого распределения по первому параметру. Другими словами, если $\[{X_i} \in {\text{NB}}\left( {r,p} \right)\]$, то $\[\sum\limits_{i = 1}^N {{X_i}} \in {\text{NB}}\left( {Nr,p} \right)\]$.

[Nyanfox]

Я так понял, надо опираться на определение математического ожидания:
$Z=\frac{2}{2+\bar{X}}, M[Z]=\sum\limits_{i=1}^{N}z_i\cdot P(Z=z_i)$

Возникает два вопроса:
1. В данном случае $\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\sim NB(nr, p)$, а какое распределение будет у $\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i}{n}$? Или же стоит просто представить $\bar{X}$ по определению?
2. Как будет выглядеть $z_i$, или же я вообще делаю что-то неправильно?

[Otta]

Матожидание функции случайной величины, наверное, учили искать...

[Nyanfox]

Otta
Хотя да, кажется, я бред написал. Надо бы повспоминать...

-- 30.06.2014, 21:02 --

Т.е. $Z=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\sim \text{NB}(2n, p)$
$h(Y)=\frac{2n}{2n+Y}$, $M[h(Y)]=\sum\limits_{i=1}^{N}h(y_i)P(Y=y_i)$
$z_i=i$, $M[h(Z)]=\sum\limits_{i=1}^{N}\frac{2n}{2n+i}C_{i+2n-1}^{i}p^{2n}{(1-p)}^i$
В верном направлении двигаюсь?

[Henrylee]

$Y$ и $Z$ у вас одно и то же?

[Otta]

Nyanfox в сообщении #882352 писал(а):

В верном направлении двигаюсь?

А кто такой $N$?

[Nyanfox]

Henrylee
Здесь $Y$ используется только для того, чтобы показать, как задаётся функция $h$ и каким является математическое ожидание от этой функции. В данном контексте можно сказать, что $Y$ и $Z$ - одно и то же.

Otta
Подозреваю, что $N$ должно быть бесконечностью, но сомневаюсь.

[Otta]

А Вы не подозревайте, Вы уточните, какие значения принимает Ваша случайная величина, иначе ничего хорошего не выйдет.

[Nyanfox]

Otta
Если исходить из определения отрицательного биномиального распределения, то $Z$ - число неудач до $2n$ успехов в серии испытаний с вероятностью успеха $p$. Значит, $Z$ может находится в пределах от $0$ (нижняя граница у меня неправильная) до $\infty$. Так?

[Otta]

Она-то от 0 до бесконечности, да, а фраза

Nyanfox в сообщении #882407 писал(а):

$Z$ - число неудач до $2n$ успехов в серии испытаний с вероятностью успеха $p$.

какая-то корявая. Смысл потерялся. Ну ладно.

[Nyanfox]

Итак, полученная сатана явно не сходится к $p$, значит, оценка смещённая.
Дисперсию, я так понимаю, надо считать по $D[X]=M[X^2]-M^2[X]$, получится разность двух ужасных сумм, каждая из которых непонятно к какой формуле сходится. Придётся всё просчитывать с помощью специализированных систем наподобие Wolfram Alpha.
Или, быть может, стоит попробовать решить задачу другим способом?

[ShMaxG]

Nyanfox в сообщении #882434 писал(а):

Итак, полученная сатана явно не сходится к $p$, значит, оценка смещённая.

Что значит не сходится? Вам нужно проверить асимптотическую несмещенность или просто несмещенность?

[ShMaxG]

Nyanfox
А вам действительно необходимо вычислить мат. ожидание этой штуки? Я не уверен, что ее можно сколько-нибудь красиво представить (помимо этих бесконечных сумм), но несложно показать без непосредственного вычисления, почему мат. ожидание превосходит $p$.

И то же с достаточностью. Не нужно считать никакую дисперсию. У вас в статистике стоит выборочное среднее. Вот и проверьте, является ли она достаточной статистикой. Потом сделайте вывод о достаточности исходной статистики.