Свертка функций

[Aarnikotka]

Доброго времени суток!

Необходимо свернуть $\Theta(t)/2a\cdot\Theta(at-|x|)$ и $\Theta(t)\cdot\Theta(x-1)/\sqrt{t}$, где $\Theta(\cdot)$ - функция Хевисайда. Задача из обобщенных методов матфизики

После сворачивания (один вариант), получаем:
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} 1/\sqrt{t-\tau} (\int\limits_{-\inf}^{+\inf}\Theta(x-\xi-1)\cdot\Theta(a\tau-|\xi|) d\xi ) d\tau$

Раскладывая $\Theta(a\tau-|\xi|)$ получаем первые пределы для $\xi$ : $-a\tau < \xi < a\tau$

Далее раскладываем $\Theta(x-\xi-1)$ и получаем три случая:
$x-1 < -a\tau, -a\tau < x-1 < a\tau, x-1 > a\tau$

Все очень легко считается, но дальше столкнулся с трудностью, как после всего правильно перейти к интегралу по $\tau$ ?

Пробовал добавлять Хевисайда к интегралу по $\tau$, получаются разные варианты ответа на одном интервале. Есть у кого идеи?

[Brukvalub]

Вы бы для начала скобочки порасставляли и сообщили бы почтенной публике, по какому аргументу сворачивать намерены.

[Munin]

(Оффтоп)

Бесконечность пишется \infty, а \inf - это значок инфимума.

Перепишу попонятней:

Aarnikotka в сообщении #882210 писал(а):

$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} 1/\sqrt{t-\tau} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Theta(x-\xi-1)\cdot\Theta(a\tau-|\xi|) d\xi \right) d\tau$

Видимо, свёртка подразумевается по $(x,t).$

[Aarnikotka]

Да, верно, свертка по $(x,t)$

[Munin]

Дальше ваши соображения непонятны, покажите формулой, что получилось к этапу:

Aarnikotka в сообщении #882210 писал(а):

получаем три случая:
$x-1 < -a\tau, -a\tau < x-1 < a\tau, x-1 > a\tau$
Все очень легко считается

А вообще, в $\Theta(t)/2a\cdot\Theta(at-|x|)$ первый множитель лишний...

[Aarnikotka]

Первый случай:
$x-1 < -a\tau$, тогда $\int\limits_{-a\tau}^{+a\tau}\Theta(x-\xi-1) d\xi = 0$

Второй случай:
$-a\tau < x-1 < a\tau$, тогда $\int\limits_{-a\tau}^{x-1} d\xi = x-1+a\tau$

Третий случай:
$ x-1 > a\tau$, тогда $\int\limits_{-a\tau}^{+a\tau} d\xi = 2a\tau$

В первом случае второй интеграл по $\tau$ тоже будет равен $0$

Во втором случае получаем интеграл:
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} \Theta(a\tau-|x-1|)\cdot (x-1+a\tau)/\sqrt{t-\tau}\cdot d\tau$

В третьем случае получаем
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} \Theta(x-1-a\tau)\cdot 2a\tau/\sqrt{t-\tau}\cdot d\tau$

Разрешая второй и третий случай окончательно по $\tau$, получаем разные ответы на одних и тех же интервалах (например на интервале $0<x-1<at$. Вот тут и заключается загвоздка, либо я где-то ошибся. Буду рад любой возможной помощи!

Есть еще идея собрать все три случая в одну формулу с помощью функций Хевисайда, пока не получилось...

[Aarnikotka]

Перевожу задачу в область физики, может быть поможет с нахождением ответа:

стержень бесконечной длины нагревается следующим образом, от точки 1 до $+\infty$ происходит температурное воздействие по формуле $1/\sqrt{t}$, т.е. при увеличении времени температурное воздействие на участок от 1 до $+\infty$ уменьшается. Ясно, что с течением времени участок от $-\infty$ до 1 будет нагреваться также (причем, чем ближе к 1, тем горячее). Осталось найти функцию распределения температур u(x,t) по всей длине стержня

[Munin]

Aarnikotka в сообщении #882367 писал(а):

Во втором случае получаем интеграл:
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} \Theta(a\tau-|x-1|)\cdot (x-1+a\tau)/\sqrt{t-\tau}\cdot d\tau$

В третьем случае получаем
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} \Theta(x-1-a\tau)\cdot 2a\tau/\sqrt{t-\tau}\cdot d\tau$

Никаких тэта у вас под интегралом уже остаться не должно! То есть, для второго случая вы имеете
$\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\dfrac{x-1+a\tau}{\sqrt{t-\tau}}d\tau,$
а для третьего -
$\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\dfrac{2a\tau}{\sqrt{t-\tau}}d\tau.$
$x$ и $t$ - параметры.

Aarnikotka в сообщении #882367 писал(а):

Разрешая второй и третий случай окончательно по $\tau$, получаем разные ответы на одних и тех же интервалах

Ну и что??? Они же просто разные слагаемые. Пускай ответы разные, вы их складываете, и всё.

[Aarnikotka]

Не согласен с тем, что тэта функция под интегралом не нужна. По трем случаям тау получается зависимой от того, куда попадет x-1, это нужно учитывать при вычислении интеграла по тау (там, кстати, точно также появятся несколько вариантов).

Конечно же, сложил ответы на разных интервалах и все получилось! Как и должно быть - распределение температуры по стержню с течением времени очень похоже на Гауссово распределение.

Munin, спасибо за подсказку!

[Munin]

Aarnikotka в сообщении #882600 писал(а):

Не согласен с тем, что тэта функция под интегралом не нужна.

Да, похоже, это я ошибся.

По сути, это надо загнать в пределы. Для $x<0$ будет одно слагаемое $\displaystyle\int\limits_{(1-x)/a}^{t}\mathrm{II},$
а для $x\geqslant 0$ - два слагаемых $\displaystyle\int\limits_{(x-1)/a}^{t}\mathrm{II}+\displaystyle\int\limits_{0}^{(x-1)/a}\mathrm{III},$
разумеется, в случаях, когда $|x-1|/a<t.$

Я вначале не разбирался, но набросал на бумажке 3-мерную область, в которой все теты единичные, в осях $(\xi,a\tau,x-1),$ и повертел её в проекциях на разные плоскости. В конце концов, после интегрирования по $\xi,$ ось $\xi$ должна исчезнуть, и останется плоскость $(a\tau,x-1).$

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Aarnikotka
Посмотрите "личные сообщения". Ещё про корреляции актуально?

[--mS--]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #973886 писал(а):

Aarnikotka
Посмотрите "личные сообщения". Ещё про корреляции актуально?

Было бы актуально - исправил бы. Зачем потворствовать?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Я всё-таки надеюсь, что человек решает прикладную задачу и сильно задолбался, некогда почту посмотреть.
Может, и зря надеюсь, но всё же...
Да, и приношу извинения за оффтопик.