Помогите решить дифференциальное уравнение

[Hao7]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить следующее уравнение: $\ddot\alpha+2*b*\dot\alpha+(\omega\ ^2)*\alpha\ = f_0*sin(pt)$. Вообщем, это уравнение из физики, где $\ddot\alpha$- вторая производная от координат, т.е. ускорение, $\dot\alpha$ - первая, т.е. скорость. $\omega\ $- циклическая чатсота колебаний. Но уравнение надо решить чисто математическим способом. Как это сделать - не знаю...

[ИСН]

Банальные вынужденные колебания с вязким торможением. Общее решение неоднородного уравнения - это общее решение однородного уравнения плюс частное решение неоднородного уравнения. Первое - это затухающие колебания с какой-то собственной частотой, второе - колебания с частотой вынуждающей силы.
Что неясно?

[Brukvalub]

Без указания вида функции F трудновато решить будет.

[нг]

Hao7
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

[Hao7]

ИСН Если честно, я не совсем понял, что было сказано. В уравнении $f_0 * sin(pt) = F(t)$ - это формула силы, действующей на тело. Здесь $f_0 = \frac {F_0} m$. :

[Brukvalub]

Читаем здесь: http://www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semester/mukr6.4.htm

[Gordmit]

Это стандартное линейное уравнение с постоянными коэффициентами, как его решать написано в любом учебнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Если вкратце, то сначала решается однородное уравнение (с правой частью 0), для этого выписывается его характеристический многочлен:

$$\lambda^2+2b\lambda+\omega^2=0$$

Если $\lambda_1$, $\lambda_2$ - его комплексные корни (различные), то общее решение имеет вид $x_{\mbox{\small одн}}=C_1e^{\lambda_1 t}+C_2e^{\lambda_2 t}$. (Экспоненты мнимых частей корней можно представить как синусы и косинусы.)

В случае кратного корня $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ общее решение имеет вид $x_{\mbox{\small одн}}=C_1e^{\lambda t}+C_2te^{\lambda t}$.

(Нужно просто аккуратно рассмотреть все случаи: дискриминант >0, =0, <0.)

После этого нужно найти частное решение неоднородного уравнения (с вашей правой частью) и прибавить его к общему решению однородного. Оно подбирается с помощью метода вариации постоянных или, как в вашем случае, можно его искать в виде $x_{\mbox{\small частн}}=A\cos(\omega t+\beta)$.
По-моему, здесь можно взять $x_{\mbox{\small частн}}=\frac{F}{2b}\cos(\omega t+\alpha).$

Добавлено спустя 3 минуты 54 секунды:

Это если $F$ - постоянная, если $F=F(t)$ зависит от $t$, то частное решение будет другое!
Впрочем, Brukvalub уже дал ссылку на подробное объяснение. Да и уравнение изменилось уже...

[Hao7]

Brukvalub писал(а):

Читаем здесь: http://www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semester/mukr6.4.htm

К сожалению, я не обладаю умением решать подобные дифференциальные уравнения, и выучить теорию за пару часов мне сейчас не представляется возможным... (я являюсь учащимся 11 класса и потому восприятие материала сложнее). Просто у меня сложилась сложная ситуация, по причине которой мне необходимо предоставить математическое решение данного уравнения. Gordmit Большое спасибо. Уравнение изменилось, извините. Я исправил его сразу как только заметил неточность. Повторю, что я являюсь учащимся 11 класса и решать дифференциальные уравнения практически не умею. Большая просьба написать полное решение.

[Brukvalub]

Hao7 писал(а):

Большая просьба неписать полное решение.

Так никто и не собирается его писать, так что Ваша просьба не писать решение будет удовлетворена автоматически. Ну почему школьников последнее время так тянет "втирать очки" своим учителям и товарищам за счёт решения задач другими людьми? Откуда берется эта идея: не умея решить, делать "умное лицо"?

[Hao7]

Brukvalub писал(а):

Hao7 писал(а):

Большая просьба неписать полное решение.

Так никто и не собирается его писать, так что Ваша просьба не писать решение будет удовлетворена автоматически. Ну почему школьников последнее время так тянет "втирать очки" своим учителям и товарищам за счёт решения задач другими людьми? Откуда берется эта идея: не умея решить, делать "умное лицо"?

Я опечатался. Мне НУЖНО полное решение.

Я не хочу делать умное лицо перед учителями. Просто нам дали подобные уравнения и сказали, чтобы мы поискали где-нибудь их решения и потом рассказали всему классу. Я искал уже во многих местах и книгах, но это мне не помогает! Я не могу освоить теорию решения таких задач за пару часов... Ну почему никто не собирается писать полное решение человеку, который не по своей вине не успевает познать теорию решения дифференциальных уравнений за несколько часов, но не хочет подвести преподавателя, который очень попросил найти решение данного уравнения именно к завтрашнему дню?

Добавлено спустя 1 час 19 минут 19 секунд:

Пожалуйста, решите уравнение!

[Gordmit]

Ну так и скажите честно учителю, что не умеете решать такие дифференциальные уравнения (и даже поискав решение в книжках, не нашли его), и будете обязаны уметь их решать только когда станете второкурсником математического факультета.

Странное, в общем-то, требование со стороны учителя - найди-ка где хошь решение задачи, никаким образом не относящейся к школьной программе, к завтрашнему дню. Ладно бы, если задача известная какая-то была, а то банальный диффур. Да и зачем нужно оно, решение, которое ни вы, рассказывающий, ни все слушатели не будут понимать? Лучше бы задачки из Ткачука порешали.

[незваный гость]

Hao7 писал(а):

но не хочет подвести преподавателя, который очень попросил найти решение данного уравнения именно к завтрашнему дню?

Что Вы имеете в виду — «подвести преподавателя»? Подвести можно, взяв на себя обязательства. Ученик, готовясь к уроку на себя обязательств не берёт.

Я плохо себе представляю преподавателя, который даёт задания ученикам, которые не может сделать сам, даёт задания, не удосужившись подобрать рекомендуемую литературу.