2014-я производная

[Ssheh]

Здравствуйте, как можно найти :
$f^{(2014)}(x)$, где $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$
Закономерностей на первых 4-х производных не смог найти, а через $x^n$ мешает выразить $x^2$ в знаменателе.
Простите, забыл добавить, что при $x=0$.

[ShMaxG]

Ssheh
На простейшие дроби разложите.

[Ssheh]

ShMaxG в сообщении #881752 писал(а):

Ssheh
На простейшие дроби разложите.

Точно, спасибо, получается:
$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$ Далее рассматриваем каждую часть:
$f^{(n)}(\frac{1}{x-1})=(-1)^n \frac{n!}{(x-1)^{n+1}}$ и если я не ошибся с этой формулой, то с 2-м слагаемым по аналогии и просто подставить $n=2014,x=0$

[ewert]

Ssheh в сообщении #881751 писал(а):

Простите, забыл добавить, что при $x=0$.

А тогда и считать ничего не надо -- просто выразите через сумму геометрической прогрессии, это и будет ряд Тейлора.

[SpBTimes]

Исходную функцию можно и без разложения на простейшие в Маклорена развалить

[Ssheh]

А как можно найти :
$f^{(2014)}(x)$, где $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ ?

[Otta]

Ssheh
Вам выше подсказали, найдите уже сами. И пишите полностью задание, опять ведь производную в нуле просят.

[frankenstein]

Ssheh заметьте, функция

$$ f(x) = \frac{1}{x^2+1} $$

четная.
Как известно производная четной функции нечетна, и наоборот.
Следовательно 2014-я производная тоже четна, дальше можете сами продолжить.

[ИСН]

Это гвоздь не от той стенки. В половине таких задач решение кончается словами "значит, 100500-я производная нечётна, и в нуле она - 0". Но тут-то не так.

[frankenstein]

Вообще-то именно так. Судя по первой задаче и во второй надо производную в нуле найти.

[Otta]

frankenstein
Вы не правы. И хочется уже услышать ТС.

[Ssheh]

Otta в сообщении #881804 писал(а):

Ssheh
Вам выше подсказали, найдите уже сами. И пишите полностью задание, опять ведь производную в нуле просят.

Да, простите, в $x=0$,
выше мне подсказали более тривиальный случай, который к этому не подходит

-- 29.06.2014, 15:32 --

Хотя, забираю свои слова обратно, с геом. прогрессией вроде бы можно

-- 29.06.2014, 15:37 --

frankenstein в сообщении #881811 писал(а):

Ssheh заметьте, функция

$$ f(x) = \frac{1}{x^2+1} $$

четная.
Как известно производная четной функции нечетна, и наоборот.
Следовательно 2014-я производная тоже четна, дальше можете сами продолжить.

А что нам дает четность(точнее конкретно, что функция четная)?

[Otta]

Ssheh в сообщении #881835 писал(а):

А что нам дает четность(точнее конкретно, что функция четная)?

Ничего.

[frankenstein]

Ssheh в сообщении #881835 писал(а):

А что нам дает четность(точнее конкретно, что функция четная)?

Если функция четная - то ее производная четной степени тоже является четной функцией.
Если вы ищете 2014ю производную в нуле функции, то тут очевидно чему она равна.

[ShMaxG]

frankenstein
Если функция четная (как и $f(x)$) то производная в нуле нечетного порядка равна 0. Число 2014 -- четное.