Спектр дифференциального оператора

[trinidados]

Столкнулся с необходимостью исследовать спектр оператора вида
Lw = a(\xi) w_{\xi\xi} + b(\xi) w_{\xi} + cw (1)
где w = w(\xi, t) , с - константа.

конкретно оператор выглядит так
Lw = C_1 \xi w_{\xi\xi} + (C_2 - C_3 \xi) w_{\xi} + C_3 w (2)

Подскажите кто-нибудь, что здесь можно сделать или к-либо литературу об спектральной теории операторов вида (1). Спасибо заранее.

[Freude]

Хорошая книга о диф. операторах Наймарка.

http://lib.mexmat.ru/books/2078

Обычно операторы с областью определения задаются. Граничные условия какие?

[trinidados]

w - это возмущение некоторого постоянного фона, вид его (возмущения) может быть в принципе любым, поэтому граничные условия можно поставить такие, чтоб задача получилась попроще. Только вот беда - задача ставится на полупрямой, от нуля до беск-ти..

наверно, всё-таки, целесообразно такие условия поставить:
w(0,t) = C, w_\xi(0,t) = 0 , w(\infty,t) = C, w_\xi(\infty, t) = 0

этакое вспучивание постоянного фона, котоорое то ли затухнет, то ли начнёт расти - собственно это и надо выяснить

[shwedka]

Граничных условий у Вас многовато. У оператора второго порядка их должно быть не больше двух.
посколько у оператора сингулярность в нуле, то естественно, по аналогии с Бесселем, поставить там условие w(0) конечно.
На бесконечности обычбо ставится условие пронадлежности L_2. Но уж во всяком случае граничные условия должны быть однородны, Еслио ЗАДАВАТЬ значение функции, или там ее производной, то оно должно равняться нулю. Именно нулю, а не каким-то константам.
Так что продумайте граничные условия еще раз. Это сильно не пустяк и не придирка. И еще. Спектр оператора очень сильно зависит от пространства, в котором этот оператор рассматривают.
Так что подумайте, какие требования на функции нужно наложить. Традиционно рассматривают L_2, возможно, с весом.

И подумайте, действительно ли Вам нужен спектр. Приготовьтесь к тому, что он может оказаться непрерывным.

[trinidados]

shwedka
тонкие замечания. функан у меня на несильно высоком уровне. так что спасибо. Думаю, если спектр окажетя непрерывным, это всё равно будет интересно

[Полосин]

(2) выглядит как оператор обыкновенного дифференциального уравнения с линейными коэффициентами. Если это действительно так, то, по аналогии с уравнением Бесселя и многими другими подобными, можно выписать в явном виде (через ряды; возможно, их удастся суммировать) два линейно независимых решения этого уравнения (с участием спектрального параметра). Подстановка в краевые условия дает явное соотношение на спектр.