Физический и математический смыслы Фоковских состояний

[ChaosProcess]

Пространство Фока определяется как прямая сумма произвольного числа внешних и симметричных тензорных степеней пространства Гильберта. Первый вопрос о математической стороне определения - прямая сумма в случае произвольного кол-ва линейных пространств определяется как линейное пространство над конечными формальными суммами. Что понимается под формальной суммой? Просто символ $\sum\limits_{i\in \alpha}H_i$, где $\alpha$ - конечная выборка чисел из множества всех натуральных чисел?
А по физической стороне дела - суперпозиция, например, одночастичного и двухчастичного фотонного состояния в смысле вышеприведенной формальной суммы - чему она соответствует? Например, может ли соответствовать фотону, который может распасться на 2 фотона в результате, например, параметрического рассеяния света, а может и не распасться?

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #880720 писал(а):

Что понимается под формальной суммой? Просто символ $\sum\limits_{i\in \alpha}H_i$, где $\alpha$ - конечная выборка чисел из множества всех натуральных чисел?

Можно считать, что просто символ, хотя я не знаю, что у вас обозначено через $H_i.$ Если векторы отдельных $i$-частичных гильбертовых пространств, то скорее с коэффициентами: $\sum\limits_{i\in \alpha}c_i\Psi_i,$ как-то так.

ChaosProcess в сообщении #880720 писал(а):

А по физической стороне дела - суперпозиция, например, одночастичного и двухчастичного фотонного состояния в смысле вышеприведенной формальной суммы - чему она соответствует? Например, может ли соответствовать фотону, который может распасться на 2 фотона в результате, например, параметрического рассеяния света, а может и не распасться?

Да, это подходящий пример. Вообще, любая реакция элементарных частиц $p_1+\ldots+p_k\to p_{k+1}+\ldots+p_n$ проходит, по квантовым законам, с какой-то амплитудой вероятности. Так что, в результате этой реакции мы с какой-то амплитудой вероятности имеем исходные частицы, а с какой-то - конечные. По времени, эта вероятность (квадрат модуля амплитуды) начинается с нуля, и растёт до какого-то значения, которое может быть 1 (например, для распада нестабильной частицы), а может быть меньше 1. Если конечные частицы вступают в следующие реакции, то вероятность фоковского состояния этого набора частиц может и снижаться.

В фоковском пространстве бывают такие же замены базиса, что и в обычном пространстве состояний квантовой механики. Например, есть две частицы: $K^0$-мезон, и её античастица $\overline{K^0}$-мезон ("ка-нуль" и "анти-ка-нуль"). Им отвечают, конечно же, разные гильбертовы пространства одночастичных волновых функций. В реакциях всегда порождается либо одна, либо другая. Но затем начинается реакция $K^0\leftrightarrow\overline{K^0},$ которая представляет собой "осцилляции" одной частицы в другую. У этих осцилляций есть собственные частоты и состояния, и они оказываются собственными состояниями гамильтониана (в фоковском смысле): $K_S$ - короткоживущий, и $K_L$ - долгоживущий ка-мезоны. Они и наблюдаются в детекторах как две разные частицы - с треками разной длины (в среднем). Долгое время их вообще считали разными частицами, и называли $\tau$ и $\theta.$ Аналогичная история со сменой базиса творится у нейтрино, и ещё в нескольких местах. Таким образом, $K_L,$ пока он летит через детектор, представляет собой как раз суперпозицию двух разных одночастичных состояний.

Ещё можно упомянуть, что когда две реакции происходят быстро одна вслед за другой, то промежуточная частица, которая возникает в одной реакции, и исчезает в другой реакции, может не образовывать свободную волну, с точки зрения своего волнового уравнения. Она образует волну с истоком (который находится в точке первой реакции) и стоком (который находится в точке второй реакции). Это называется виртуальной частицей. Тогда в квантовом расчёте должны рассматриваться обе реакции вместе, а не по отдельности.

[arseniiv]

ChaosProcess в сообщении #880720 писал(а):

Что понимается под формальной суммой? Просто символ $\sum\limits_{i\in \alpha}H_i$, где $\alpha$ - конечная выборка чисел из множества всех натуральных чисел?

Все формальные суммы, произведения, линейные комбинации и другие можно представить в виде (в данном случае бесконечных) последовательностей, т. е. функций из какого-то не более чем счётного линейно упорядоченного множества — обычно отрезка/интервала целых чисел,

$$\sum_{i\in I} \left(a_i\in A_i\right) \equiv \{(i,a_i) : i\in I\}\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i.$$

Чем индексируются члены, оттуда и функция, так что зря я поначалу написал про линейную упорядоченность. В принципе, не менее чем счётность тоже не обязательна совсем, но континуальные формальные суммы, вроде, реже встречаются в этих местах.

[ChaosProcess]

arseniiv в сообщении #880796 писал(а):

Все формальные суммы, произведения, линейные комбинации и другие можно представить в виде (в данном случае бесконечных) последовательностей, т. е. функций из какого-то не более чем счётного линейно упорядоченного множества — обычно отрезка/интервала целых чисел,

$$\sum_{i\in I} \left(a_i\in A_i\right) \equiv \{(i,a_i) : i\in I\}\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i.$$

Чем индексируются члены, оттуда и функция, так что зря я поначалу написал про линейную упорядоченность. В принципе, не менее чем счётность тоже не обязательна совсем, но континуальные формальные суммы, вроде, реже встречаются в этих местах.

Да не, конфуз в самом понятии формальная сумма. Прямая сумма в случае конечного количества пространств определяется через прямую сумму подпространств декартового произведения всех этих пространств. А в случае бесконечной суммы это уже неприменимо. Так что такое формальная сумма?

-- Пт июн 27, 2014 17:15:52 --

Munin в сообщении #880788 писал(а):

Ещё можно упомянуть, что когда две реакции происходят быстро одна вслед за другой, то промежуточная частица, которая возникает в одной реакции, и исчезает в другой реакции, может не образовывать свободную волну, с точки зрения своего волнового уравнения. Она образует волну с истоком (который находится в точке первой реакции) и стоком (который находится в точке второй реакции). Это называется виртуальной частицей. Тогда в квантовом расчёте должны рассматриваться обе реакции вместе, а не по отдельности.

Тут я вас не очень понимаю. Насколько я помню, в КЭД, например, реакция описывается в виде ряда теории возмущений по константе связи. Считается, что в начале имеется набор возбуждений полей - электронных и фотонных, которые представляют собой некоторое состояние в пространстве Фока. Далее происходит взаимодействие с участием виртуальных частиц и в итоге мы имеем другое состояние в пространстве Фока - электроны и фотоны с другими импульсами, спиральностями и т.д. При этом виртуальные частицы - замкнутые линии в диаграммах Фейнмана - никак себя не проявляют в пространстве Фока, т.е. просто скачкообразно меняется исходное состояние квантовых полей на итоговое.

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #880805 писал(а):

Так что такое формальная сумма?

Просто думайте про неё как про прямую сумму конечного количества пространств. Только бесконечного.

Делов-то.

Или вам математические формальные тонкости нужны?

ChaosProcess в сообщении #880805 писал(а):

Тут я вас не очень понимаю. Насколько я помню, в КЭД, например, реакция описывается в виде ряда теории возмущений по константе связи.

Это два разных взгляда на одно и то же. Один из них - сильно "сбоку" по отношению к другому. Вообще, на КТП возможно и ещё больше взглядов (штуки три, если не четыре).

ChaosProcess в сообщении #880805 писал(а):

Считается, что в начале имеется набор возбуждений полей - электронных и фотонных, которые представляют собой некоторое состояние в пространстве Фока. Далее происходит взаимодействие с участием виртуальных частиц и в итоге мы имеем другое состояние в пространстве Фока - электроны и фотоны с другими импульсами, спиральностями и т.д.

Ну да. И это взаимодействие происходит как раз через третьи состояния в пространстве Фока - через промежуточные.

ChaosProcess в сообщении #880805 писал(а):

При этом виртуальные частицы - замкнутые линии в диаграммах Фейнмана - никак себя не проявляют в пространстве Фока

Не знаю, кто вам это сказал, но это неправда.

Правда, есть немного другое представление - не совсем в виде пространства Фока - когда описывается пространство частиц на бесконечности, то есть, разлетевшихся на такое расстояние, что они уже не взаимодействуют друг с другом. Такое представление - да, в начале оно есть, в конце оно есть, а в промежутке каша, которую как-то рассчитывают, которая не является представлением такого типа.

[ChaosProcess]

Munin в сообщении #880857 писал(а):

Или вам математические формальные тонкости нужны?

Они самые. Поэтому я и отметил вопрос как сугубо математический, формальный.

Munin в сообщении #880857 писал(а):

Вообще, на КТП возможно и ещё больше взглядов (штуки три, если не четыре).

В смысле? Точно решаемые задачи? Или вы про различие подходов Фейнмана(функциональный интеграл) и Швингера(полевые операторы)?

Munin в сообщении #880857 писал(а):

Правда, есть немного другое представление - не совсем в виде пространства Фока - когда описывается пространство частиц на бесконечности, то есть, разлетевшихся на такое расстояние, что они уже не взаимодействуют друг с другом. Такое представление - да, в начале оно есть, в конце оно есть, а в промежутке каша, которую как-то рассчитывают, которая не является представлением такого типа.

Именно. Рассматриваем только наблюдаемую величину - матрицу рассеяния. А что, есть еще какие-то подходы?

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #880872 писал(а):

Они самые. Поэтому я и отметил вопрос как сугубо математический, формальный.

Тогда это вам надо задать вопрос как "что такое прямая сумма счётного множества гильбертовых пространств", сказать, что он по функану, и вывесить его в разделе "ПРР (М)".

Я вам, по крайней мере, со всеми тонкостями не отвечу.

ChaosProcess в сообщении #880872 писал(а):

В смысле? Точно решаемые задачи? Или вы про различие подходов Фейнмана(функциональный интеграл) и Швингера(полевые операторы)?

Скорее, второе.

На КТП можно смотреть как:
- на квантование классического поля, с полевыми операторами;
- на теорию вторичного квантования частиц, с пространством Фока и с гамильтонианом, перемешивающим пространства с разными числами заполнения;
- на квантование классического лагранжева поля, с функциональным интегралом.

Во всех трёх видах, чтобы что-то реально рассчитать, приходится прибегать к ряду теории возмущений. Но дорога к нему из каждого вида идёт разная, и из фейнмановского - короче всего. Кроме того, говорить об этом ряде можно и с феноменологической точки зрения (теория $S$-матрицы).

Вы эти вещи немножко путаете, отсюда и получается, что утверждения из одного формализма применяете в другом.

[ChaosProcess]

Munin в сообщении #880876 писал(а):

Скорее, второе.

На КТП можно смотреть как:
- на квантование классического поля, с полевыми операторами;
- на теорию вторичного квантования частиц, с пространством Фока и с гамильтонианом, перемешивающим пространства с разными числами заполнения;
- на квантование классического лагранжева поля, с функциональным интегралом.

Во всех трёх видах, чтобы что-то реально рассчитать, приходится прибегать к ряду теории возмущений. Но дорога к нему из каждого вида идёт разная, и из фейнмановского - короче всего. Кроме того, говорить об этом ряде можно и с феноменологической точки зрения (теория $S$-матрицы).

Если вы не против, я бы хотел обсудить это поподробнее.
Опустим пока интеграл по путям. Квантование поля - заменяем везде классические функции на полевые операторы, с соответствующими правилами коммутации. Полевые операторы действуют на состояния из пространства Фока. Их можно разложить по элементарным возбуждениям - с использование операторов рождения и уничтожения. Далее, если опустить путевой интеграл, надо рассмотреть теорию возмущений, как это сделал Дайсон, и посчитать амплитуды вероятности превращения частиц. Эти амплитуды удобно представлять в виде диаграмм Фейнмана, виртуальные частицы обозначают электронные и фотонные(если мы в КЭД) пропагаторы. Насколько я понял, в таком рассмотрении мы не в состоянии понять, какие значения принимают наблюдаемые в промежутке времени между, грубо говоря, между $-\infty$ и $+\infty$.
Что я делаю не так? (c)

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #880892 писал(а):

Опустим пока интеграл по путям. Квантование поля - заменяем везде классические функции на полевые операторы, с соответствующими правилами коммутации. Полевые операторы действуют на состояния из пространства Фока.

Стоп-стоп-стоп. Вы уже смешали ужа с ежом.

Вот возьмём классические функции $F^{\mu\nu}.$ На какие-такие операторы мы будем их заменять?

ChaosProcess в сообщении #880892 писал(а):

Насколько я понял, в таком рассмотрении мы не в состоянии понять, какие значения принимают наблюдаемые в промежутке времени между, грубо говоря, между $-\infty$ и $+\infty$.

Ну что значит, "не в состоянии понять"? Вот в атоме водорода вы в состоянии понять, какое значение принимает координата электрона? Она там есть, но она неопределённая. Её можно измерить, и измерение даст не один результат, а много, с вероятностями для каждого.

[ChaosProcess]

Munin в сообщении #880899 писал(а):

Вот возьмём классические функции $F^{\mu\nu}.$ На какие-такие операторы мы будем их заменять?

Квантуется $A_{\mu}$.

Munin в сообщении #880899 писал(а):

Ну что значит, "не в состоянии понять"? Вот в атоме водорода вы в состоянии понять, какое значение принимает координата электрона? Она там есть, но она неопределённая. Её можно измерить, и измерение даст не один результат, а много, с вероятностями для каждого.

Вопрос в том, можно ли измерить параметры промежуточного фотона(или электрона). Насколько я понял, эти просто удобное представление аналитических корреляционных функций.

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #880906 писал(а):

Квантуется $A_{\mu}$.

Так, хорошо. И всё-таки, есть такая классическая величина, как $F_{\mu\nu}$ (ну ладно, $A_\mu,$ хотя в классике её ещё поди измерь, "наблюдаемая"). И на что и как надо действовать оператором?

ChaosProcess в сообщении #880906 писал(а):

Вопрос в том, можно ли измерить параметры промежуточного фотона(или электрона). Насколько я понял, эти просто удобное представление аналитических корреляционных функций.

Это написано много где, но я не согласен. Этак и само поле можно считать "удобным представлением".

У реального фотона (или электрона) можно измерить параметры непосредственно: мы его ловим детектором, и ага.

А у виртуального - можно пролетающей мимо дополнительной ("пробной") частицей. Она на промежуточном фотоне может рассеяться. Так что, в конечном счёте, он вполне себе существующий, а не "удобное представление".

Тут надо учитывать исторический контекст, что когда в физике появлялось слово "виртуальный", оно ещё не было распространено в компьютерном смысле, как "ненастоящий". Так что, уважения к этому слову было больше.

И ещё, надо понимать, что такое "корреляционные функции", и что такое поле.

[arseniiv]

ChaosProcess в сообщении #880805 писал(а):

Да не, конфуз в самом понятии формальная сумма. Прямая сумма в случае конечного количества пространств определяется через прямую сумму подпространств декартового произведения всех этих пространств. А в случае бесконечной суммы это уже неприменимо. Так что такое формальная сумма?

Ну вот я вам описал один элемент из этой суммы, функцию $f\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i$. Всё множество таких функций обозначают или $\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)^I$, или $I\to\bigcup_{i\in I}A_i$. Это множество существует и является подмножеством множества $I\times\bigcup_{i\in I}A_i$.

Вроде, счётные декартовы произведения, чтобы представить множество формальных сумм просто в виде $\times_{i\in I}A_i$, тоже несложно определяются, но в таком виде тоже понятно.

-- Сб июн 28, 2014 00:15:42 --

Кстати, прямые суммы и счётные, вроде, нормально себя чувствуют.

[ChaosProcess]

arseniiv в сообщении #880945 писал(а):

ChaosProcess в сообщении #880805 писал(а):

Да не, конфуз в самом понятии формальная сумма. Прямая сумма в случае конечного количества пространств определяется через прямую сумму подпространств декартового произведения всех этих пространств. А в случае бесконечной суммы это уже неприменимо. Так что такое формальная сумма?

Ну вот я вам описал один элемент из этой суммы, функцию $f\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i$. Всё множество таких функций обозначают или $\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)^I$, или $I\to\bigcup_{i\in I}A_i$. Это множество существует и является подмножеством множества $I\times\bigcup_{i\in I}A_i$.

Вроде, счётные декартовы произведения, чтобы представить множество формальных сумм просто в виде $\times_{i\in I}A_i$, тоже несложно определяются, но в таком виде тоже понятно.

-- Сб июн 28, 2014 00:15:42 --

Кстати, прямые суммы и счётные, вроде, нормально себя чувствуют.

Хорошо, спасибо.

Munin в сообщении #880943 писал(а):

(ну ладно, $A_\mu,$ хотя в классике её ещё поди измерь, "наблюдаемая"

Измеряем напряженности, восстанавливаем $F_{\mu\nu}$, а потом и $A_{\mu}$.

Munin в сообщении #880943 писал(а):

И на что и как надо действовать оператором?

На вакуум.

Munin в сообщении #880943 писал(а):

А у виртуального - можно пролетающей мимо дополнительной ("пробной") частицей. Она на промежуточном фотоне может рассеяться. Так что, в конечном счёте, он вполне себе существующий, а не "удобное представление".

Это уже надо будет описывать другой диаграммой.
Так все же. Мы реально измеряем вероятность, т.е. квадрат модуля амплитуды вероятности попасть из начального состояния в конечное. При этом то, что происходит внутри, описывается функциями Грина и не выходит, так сказать, на поверхность. В частности, многочисленные петли, которые влияют на детекторы только в виде радиационных поправок. Или я неправ?

[Утундрий]

Физический и математический смысл формулы корней квадратного уравнения... Тема слишком обширна, чтобы её обсуждать.

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #880953 писал(а):

Измеряем напряженности, восстанавливаем $F_{\mu\nu}$, а потом и $A_{\mu}$.

Нет, это вы со стороны эксперимента. А со стороны математического формализма? Вот есть у нас пространство Фока (допустим). И чего с ним делать? Какой оператор взять, как с ним подступиться?

"А? Э! Так-то, дружок! В этом-то всё и дело..."

ChaosProcess в сообщении #880953 писал(а):

На вакуум.

Смелый какой нашёлся :-) Ну давайте, рассчитайте $F_{\mu\nu}$ для вакуума. Нобелевку получите, обещаю.

ChaosProcess в сообщении #880953 писал(а):

Это уже надо будет описывать другой диаграммой.

Да. Верно. На языке диаграмм - другой. Ну и что? Чем вообще одна диаграмма от другой отличается? Вот мы внесли в систему что-то новое - диаграмма стала другая. Но ведь она на исходную чем-то похожа. Отличается только новой частицей, и её взаимодействием с одной из внутренних линий. Это то же самое, что отличие диаграммы простого распространения ни с чем не взаимодействущего фотона, от диаграммы, где он с чем-то взаимодействует.

Как ещё мы могли бы обнаружить эту промежуточную частицу, если она в одной реакции возникает, а в другой должна поглотиться? Целый классический прибор в промежуток не всунешь.

ChaosProcess в сообщении #880953 писал(а):

Так все же. Мы реально измеряем вероятность, т.е. квадрат модуля амплитуды вероятности попасть из начального состояния в конечное.

В принципе, мы можем измерять не только амплитуду, но и фазу. Просто это сложнее. Но с фотонами, например, можно, интерференционными опытами.

ChaosProcess в сообщении #880953 писал(а):

При этом то, что происходит внутри, описывается функциями Грина и не выходит, так сказать, на поверхность.

Ну так и про обычную квантовую механику можно то же сказать: что, мол, волновая функция не выходит на поверхность.

Кстати, заметьте, что можно описывать функциями Грина, а можно и не функциями Грина. Это, опять же, вопрос выбора взгляда на КТП.

ChaosProcess в сообщении #880953 писал(а):

В частности, многочисленные петли, которые влияют на детекторы только в виде радиационных поправок.

Иногда петли составляют весь эффект от взаимодействия. Иногда они меняют результат радикально: до нуля, или до противоположного знака. И т. п. Не надо смотреть свысока на петли.

ChaosProcess в сообщении #880953 писал(а):

Или я неправ?

По сути правы, по расставленным акцентам - я с вами не согласен.