Мультипликативные оценки норм производных

[allfake2014]

Помогите доказать(с чего вообще начать, какие-то шаги) или найти литературу, где можно почитать по поводу мультипликативных оценок норм производных в $L_p$ и $C$

Должно выглядеть примерно так:
$\| u'(x)\| = M \|u(x)\|^{1/2}$ ${\|u'(x)\|}^{1/2}$

[Oleg Zubelevich]

http://en.wikipedia.org/wiki/Gagliardo% ... inequality

[allfake2014]

Oleg Zubelevich
Спасибо. Да, про неравенства Гальярдо-Ниренберга знаю. Но не смог найти док-во почему так.

[sup]

Существует один очень простой подход. Заодно получим соотношения на параметры
Пусть у нас есть оценка
$\|u\|_p \leqslant C(\|u\|_q + \|\nabla u\|_r )$
Пусть $v(x)$ - гладкая финитная функция. Положим $u(x) = v(\lambda x)$. Тогда
$\frac {\|v\|_p}{\lambda^{n/p}} \leqslant C(\frac {\|u\|_q}{\lambda^{n/q}} + \frac {\|\nabla u\|_r }{\lambda^{(n-r)/r}})$
Или
$\|v\|_p \leqslant C \lambda^{-n/p} \left ( \frac {\|v\|_q}{\lambda^{n/q}} + \frac {\|\nabla v\|_r }{\lambda^{(n-r)/r}} \right ) $

В силу произвольности $\lambda$ должны выполнятся либо
$\frac{1}{q } \leqslant \frac{1}{p} \leqslant \frac{1}{r} - \frac{1}{n}$
либо
$\frac{1}{r} - \frac{1}{n} \leqslant \frac{1}{p} \leqslant \frac{1}{q }$
После этого достаточно найти минимум правой части по $\lambda$.
Для более высоких производных рассуждения абсолютно аналогичны.
А вообще, как оказывается, существует один простой подход, позволяющий единообразно (!) получать неравенства Харди, Карлсона и мультипликативные неравенства в анизотропных пространствах Соболева.
(я там в формулах пару опечаток поправил)

[allfake2014]

sup
Спасибо большое! Сейчас попробую разобраться. Можно к вам, в случае проблем, обратиться за помощью?

[sup]

Обращайтесь. Только у меня отвратительная связь и, возможно, ответы будут только завтра.
А вообще, я может быть небольшой текст на эту тему напишу (в отдельной теме).

[Oleg Zubelevich]

M Taylor Partial Differential Equations том 3