Геометрический смысл дискриминанта?

[Борис Лейкин]

Какой у дискриминанта геометрический смысл?

[tolstopuz]

Борис Лейкин писал(а):

Какой у дискриминанта геометрический смысл?

Ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах.

[Brukvalub]

tolstopuz писал(а):

Борис Лейкин писал(а):

Какой у дискриминанта геометрический смысл?

Ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах.

Хорошая шутка! Предлагаю альтернативный ответ: знак дискриминанта квадратного трехчлена определяет количество точек пересечения графика этого трехчлена с осью абсцисс.

[tolstopuz]

Brukvalub писал(а):

tolstopuz писал(а):

Борис Лейкин писал(а):

Какой у дискриминанта геометрический смысл?

Ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах.

Хорошая шутка! Предлагаю альтернативный ответ: знак дискриминанта квадратного трехчлена определяет количество точек пересечения графика этого трехчлена с осью абсцисс.

Мой ответ остается верным и при $n>2$

[worm2]

tolstopuz писал(а):

Мой ответ остается верным и при $n>2$

Только если понимать под дискриминантом детерминант

[tolstopuz]

worm2 писал(а):

tolstopuz писал(а):

Мой ответ остается верным и при $n>2$

Только если понимать под дискриминантом детерминант

Надо меньше работать и больше отдыхать!

[Алексей К.]

tolstopuz писал(а):

Надо меньше работать и больше отдыхать!

Тем самым хотя бы физиологический смысл дискриминанта прояснён.
Уже немало для этой ветки!

[Юстас]

Кстати, как, пользуясь только свойствами, однозначно определяющими детерминант(линейность по строке и т.д.) доказать эквивалентность геометрическому определению как объему параллелепипеда? Кажется, в курсе ангема что-то делалось с детерминантом Грама $\det((v_i,v_j))=det(AA^T)$.

[bot]

Юстас писал(а):

Кстати, как, пользуясь только свойствами, однозначно определяющими детерминант(линейность по строке и т.д.) доказать эквивалентность геометрическому определению как объему параллелепипеда? Кажется, в курсе ангема что-то делалось с детерминантом Грама $\det((v_i,v_j))=det(AA^T)$.

Детерминант квадратной матрицы это функция столбцов, однозначно определённая тремя условиями. Эта функция
1) полилинейна.
2) антисимметрична по любой паре столбцов
3) равна 1 на одном из ортонормированных базисов

Ориентированный объём удовлетворяет ровно этим же свойствам.

[luitzen]

Можно написать формулы, выражающие различные характеристики параболы $y = ax^2 + bx + c$ через дискриминант $D = b^2 - 4ac$. К сожалению, большая их часть будет содержать где-нибудь в знаменателе $a$. Поэтому придется «приплетать» что-то, способное это $a$ нейтрализовать. К примеру, фокальный параметр $p = \frac{1}{2a}$ (предполагается, что $a>0$ и $D>0$).

Тогда можно сказать, что $D$ показывает, во сколько раз расстояние от вершины параболы до оси абсцисс больше расстояния от вершины параболы до её фокуса.

Или можно сказать, что $\sqrt{D}$ показывает, во сколько раз половина расстояния между точками пересечения параболы с осью абсцисс больше расстояния от фокуса параболы до её директрисы.

И ещё: $\pm\sqrt{D}$ — это тангенс угла наклона касательной к параболе в точках её пересечения с осью абсцисс.

[arqady]

luitzen писал(а):

И ещё: $\pm\sqrt{D}$ — это тангенс угла наклона касательной к параболе в точках её пересечения с осью абсцисс.

Имхо, это всегда ноль.

[luitzen]

arqady писал(а):

luitzen писал(а):

И ещё: $\pm\sqrt{D}$ — это тангенс угла наклона касательной к параболе в точках её пересечения с осью абсцисс.

Имхо, это всегда ноль.

Параболы $y(x) = ax^2 + bx +c$