Найти решение Задачи Коши

[Vanilin]

Задача.Найти решение $E(t,x)$ задачи Коши $L(E)=0,E(0,x)=\delta(x)$, для оператора $L= \frac{d^2}{dt^2}$ $+\frac{d^2}{dx^2}$, удовлетворяющий условию $E(t, \cdot ) \to$ 0 при $t \to \infty$.
Теория.
$L=$$P(\frac{d}{dx_1},\frac{d}{dx_2},...,\frac{d}{d x_n})$- дифференциальный оператор конечного порядка с постоянными комплексными коэффициентами($P$-комплексный многочлен).Фундаментальным решением для этого оператора называется любая обобщенная функция $E \in D'(R^n)$, удовлетворяющая уравнению $L(E)=\delta_0$
Решение:
Если выполнить преобразование Фурье по переменной $x$ , то получим уравнение
$\frac{{{d^2}\widehat E\left({t,\lambda}\right)}}{{d{t^2}}}-$${\lambda ^2}\widehat E\left({t,\lambda}\right) = 0$
Выбираем убывающее по переменной t решение
$\widehat E\left({t,\lambda}\right) = C\left( \lambda \right){e^{- \left| \lambda \right|\;t}}$
Величину C\left( \lambda \right) выбираем, исходя из начального условия,
$C\left( \lambda \right) = 1$ (это преобразование Фурье дельта-функции).
Осталось выполнить обратное преобразование Фурье
1. $E\left({t,x}\right) =1/2\pi\int\limits_\mathbb{R}{{e^{- \left| \lambda \right|\;t}}\cdot{e^{i\,x\;\lambda}}d\lambda}= \frac{1}{{2\pi}}\left({\int\limits_{- \infty}^0{{e^{\left({t + i\,x\;}\right)\lambda}}d\lambda}+ \int\limits_0^\infty{{e^{\left({- t + i\,x\;}\right)\lambda}}d\lambda}}\right) =$
$=1/2\pi(\left.{ \frac{e^{(t+ix)\lambda}}{t+ix} }\right|_{ - \infty }^{ 0 }-\left.{ \frac{e^{-(t-ix)\lambda}}{t-ix} }\right|_{ 0 }^{ \infty })=\frac{t}{(t^2+x^2)\pi}$
2.Увяз на проверке $(( \frac{t}{(t^2+x^2)\pi})',\varphi)$$=-(\frac{t}{(t^2+x^2)\pi},\varphi')$$=-\int\limits_{R}\frac{t}{(t^2+x^2)\pi}\varphi'(x)dx$$=-\left.{\frac{t}{(t^2+x^2)\pi}\varphi(x)}\right|_{ R} + \int\limits_{R}(\frac{t}{(t^2+x^2)\pi})'\varphi(x)dx=$?
Или проверку можно не делать?

[Lia]

Vanilin
Замечание за создание дубля темы из Карантина. В следующий раз исправляйте тему в Карантине.

[Vince Diesel]

На проверке чего?

[Vanilin]

Vince Diesel в сообщении #878418 писал(а):

На проверке чего?

Да чего то я напутал тут проверка не нужна.

А Вы не проверите пожалуйста решение?

[Vince Diesel]

Верно.