Интерполяция с помощью полиномов Чебышева

[MoonGuard]

Необходимо интерполировать некоторую функцию степенным рядом.
Можете подсказать алгоритм такой интерполяции, поскольку в интернете очень мало информации. А так же подсказать, как связаны между собой интерполяция степенным рядом и полиномы Чебышева? Их вроде используют для минимизации оценки погрешности, а не самой интерполяции.

[profrotter]

Вы под интерполяцией что понимаете?

[MoonGuard]

Ну для себя я это так определил:
Нам дан конечный набор пар чисел $(x_i , y_i)$, где $i \in n$, a $n - $ количество точек(узлов).
Нам надо найти промежуточные значения на интервале $(x_0 : x_n_-_1)$.
Интерполяция - способ нахождения этих промежуточных значений, по имеющемуся у нас дискретному набору значений.

[MoonGuard]

В док-во того, что я что-то делаю, скажу - что я реализую программно метод интерполяции степенным рядом. Рациональную, Лагранжем и несколькими другими способами интерполяция была приведена, её примеры вы можете глянуть на скриншоте:
Картинка
п.с. тег img жалуется на то, что не может определить размеры изображения :(

[profrotter]

Воможно Вы имеете в виду усечённый степенной ряд (количество членов равно количеству узлов интерполяции), но тогда мы имеем дело с построением интерполяционного многочлена Лагранжа. И в случае, если мы используем ортогональные полиномы Чебышёва при интерполяции результат приведётся к многочлену Лагранжа. Интерполяционный многочлен единственный.

Думаю вам следует записать выражение для интерполирующей функции, о которой идёт разговор.

[MoonGuard]

Ну конкретной функции нет.
Задание звучит так: Интерполяция функции степенным рядом, полиномы Чебышева, вычисление рядов. Общая тема "Вычисление функций: интерполяция". Т.е. мне надо написать программу, которая по заданному диапазону получает наши промежуточные результаты. В моём представлении полиномы Чебышева сами задают сетку, используя рекуррентное отношение (ну те формулы, с помощью которых мы находим $T_n(x)$);
Т.е. мы получаем пары таких чисел ($x_i,T_n(x_i)$).
И тут я встаю в тупик: у меня уже задана сетка, что мне делать с сеткой Чебышева? Ведь передо мной стоит задача не аппроксимации, а именно интерполяции. И если брать интерполяцию усеченным степенным рядом, то да, мы получим полином Лагранжа, и вроде даже по теореме, такой существует единственный.
В общем именно эта часть задания ставит меня в ступор. Возможно есть ошибка в моей логике, все же я слабо разбираюсь в темах интерполяции и аппроксимации. Если вы на неё укажите, буду благодарен.
А если я все правильно понимаю, то получается либо моя интерпретация задания не верна, либо само задание некорректно?

[Yuri Gendelman]

MoonGuard в сообщении #797683 писал(а):

Необходимо интерполировать некоторую функцию степенным рядом.
... как связаны между собой интерполяция степенным рядом и полиномы Чебышева?

(Хотя и поздновато, но может оказаться полезным.)

Рекомендую обратить внимание на книгу:
Л. З. Румшинский. "Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство.". М.: Наука, 1971.
В разделе 3.2-3, стр.66-70, описан метод построения интерполяционного полинома с помощью "ортогональных полиномов Чебышева на множестве точек". (Это не многочлены Чебышева, хотя и похожи.)
Преимущества по сравнению со степенным рядом:
- большая устойчивость при использовании высоких степеней аргумента;
- можно повышать степень полинома без пересчета уже найденных параметров.