Гиперпрямая

[serval]

В 3D пространстве через любые 2 точки можно провести прямую.
Через любые ли 3 точки в 4D пространстве можно провести гиперпрямую?
Вообще, через любые ли N-1 точек можно провести гиперпрямую в ND пространстве?

[TOTAL]

serval в сообщении #877178 писал(а):

Через любые ли 3 точки в 4D пространстве можно провести гиперпрямую?

Что такое "гиперпрямая"?

[Someone]

serval в сообщении #877178 писал(а):

Через любые ли 3 точки в 4D пространстве можно провести гиперпрямую?

Если под $4D$-пространством понимается четырёхмерное линейное пространство (стандартно $\mathbb R^4$), то, разумеется, можно (предполагается, что эти три точки не лежат на одной прямой). Только я не встречал термина "гиперпрямая", эта штука называется (двумерной) плоскостью. Иногда встречается термин "гиперплоскость".
Вообще, в линейном пространстве любой размерности $n$ (включая бесконечные) любые $m$ точек лежат в некотором линейном многообразии ("гиперплоскости") размерности $\leqslant m-1$ ($m$ считаем конечным). Если $\vec x_1,\vec x_2,\ldots,\vec x_m$ — заданные точки, то это линейное многообразие можно представить как множество точек, которые можно записать в виде

$$\vec x=\vec x_m+\lambda_1(\vec x_1-\vec x_m)+\ldots+\lambda_{m-1}(\vec x_{m-1}-\vec x_m),$$

где $\lambda_1,\ldots,\lambda_{m-1}$ — произвольные числа.

[serval]

Думал так: будем говорить, что точки лежат на (гипер)прямой если сумма расстояний между всеми соседними (не имеющими точек между собой) точками равна расстоянию между крайними (имеющими только одного соседа) точками.

Но проверил - ответ отрицательный. Значит признак не годится.
Интересно, есть ли признак выделяющий конфигурацию из N точек в ND пространстве среди прочих конфигураций?

[Someone]

serval в сообщении #877195 писал(а):

Интересно, есть ли признак выделяющий конфигурацию из N точек в ND пространстве среди прочих конфигураций?

Конечно. Количество точек.

[serval]

Цитата:

предполагается, что эти три точки не лежат на одной прямой

Вот. Что значит "лежат на одной прямой" для N-мерия?

[ИСН]

То же самое, что для двумерия. Никаких гиперпрямых нет, и говорить о них не надо. Есть гиперплоскости размерности $2, 3, ..., n-1$.

[TOTAL]

serval в сообщении #877205 писал(а):

Цитата:

предполагается, что эти три точки не лежат на одной прямой

Вот. Что значит "лежат на одной прямой" для N-мерия?

Векторы $x_i-x_j$ все одинаковы (могут отличаться только длиной)

[Someone]

serval в сообщении #877205 писал(а):

Что значит "лежат на одной прямой" для N-мерия?

Вы не знаете, что такое прямая в линейном пространстве? Это множество точек линейного пространства, которые можно записать в виде $\vec x=\vec x_0+\lambda\vec a$, где $\vec x_0$ и $\vec a\neq\vec 0$ — постоянные векторы, $\lambda\in\mathbb R$ — произвольное число.

[ИСН]

Вот-вот. Это и называется прямая. Тупо прямая, не гипер.

[serval]

Цитата:

Конечно.

Например, существует признак выделяющий из всех возможных расположений 4 точек на прямой гармонические.
Для 2 точек в 3D таким признаком можно считать существование соединяющей их линии минимальность длины.
Нет ли признака выделяющего конфигурацию из 3 любых точек в 4D?

[serval]

Цитата:

Конечно.

Например, существует признак выделяющий из всех возможных расположений 4 точек на прямой гармонические.
Для 2 точек в 3D таким признаком можно считать существование соединяющей их линии минимальность длины.
Нет ли признака выделяющего конфигурацию из 3 любых точек в 4D?

[TOTAL]

serval в сообщении #877216 писал(а):

Нет ли признака выделяющего конфигурацию из 3 любых точек в 4D?

Не лежат на одной прямой.

[Aritaborian]

Есть. Их три тогда и только тогда, когда их три ;-D
serval, вы, может быть, и имеете в виду нечто содержательное, но никак не можете донести это до народа...

-- 19.06.2014, 13:33 --

TOTAL, это будет т. н. общее положение. Но ведь это как раз случай не любых трёх точек.

[TOTAL]

Aritaborian в сообщении #877221 писал(а):

TOTAL, это будет т. н. общее положение. Но ведь это как раз случай не любых трёх точек.

Это то, что выделяет эти три точки, как и требовалось. Ведь не любые три точки не лежат на одной прямой.