2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Факторгруппа, изоморфизм.
Сообщение10.05.2014, 15:09 


01/10/13
37
Добрый день.

Решаю следующую задачу:
Доказать, что факторгруппа $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ по ее центру изоморфна группе $A_5$.

Пока что только пришел к такому решению:
1. Определим единичный элемент группы $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$, как $E$,
а единичный элемент группы $A_5$ как $e$
2. Допустим, что существует такой гомоморфизм $f$ из $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ в $A_5$, при котором $f(E) = e, f(-E) = e$
3. Докажем, что такой гомоморфизм существует:
$f(E\times E) = f(E) \cdot f(E)= e\cdote = e$, $f(E\times E) = f(E) = e$
$f(-E\times E) = f(-E) \cdot f(E)=e\cdote = e$, $f(-E\times E) = f(-E) = e$
Пусть $X$ - элемент группы $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$, $y$ - элемент группы $A_5$ такие, что $f(X) = y$.
$f(E \times X) = f(E) \cdot f(X) = e \cdot y = y$, $f(E \times X) = f(X) = y = y$.

По определению, такой гомоморфизм существует. (Вопрос: а имеет ли это утверждение смысл?)

Ядром гомоморфизма $f$ являются элементы $E, -E$

4. Центром группы $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ являются элементы $E, -E$.
Тогда по теореме о гомоморфизме (Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма) факторгруппа $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ по ее центру изоморфна $A_5$.

Скажите пожалуйста, правильны ли эти рассуждения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторгруппа, изоморфизм.
Сообщение10.05.2014, 15:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
nosochego в сообщении #861348 писал(а):
2. Допустим, что существует такой гомоморфизм $f$ из $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ в $A_5$, при котором $f(E) = e, f(-E) = e$
3. Докажем, что такой гомоморфизм существует:
$f(E\times E) = f(E) \cdot f(E)= e\cdote = e$, $f(E\times E) = f(E) = e$
$f(-E\times E) = f(-E) \cdot f(E)=e\cdote = e$, $f(-E\times E) = f(-E) = e$
Это практически рассуждение вида "Пусть $f$ существует и обладает свойством $P$, тогда $f$ обладает свойством $P$".
Здесь надо можно проверить, является ли $\{E,-E\}$ нормальным делителем $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}_5)$, и если да, то что отсюда следует?

nosochego в сообщении #861348 писал(а):
3. Докажем, что такой гомоморфизм существует:
$f(E\times E) = f(E) \cdot f(E)= e\cdote = e$, $f(E\times E) = f(E) = e$
$f(-E\times E) = f(-E) \cdot f(E)=e\cdote = e$, $f(-E\times E) = f(-E) = e$
Пусть $X$ - элемент группы $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$, $y$ - элемент группы $A_5$ такие, что $f(X) = y$.
$f(E \times X) = f(E) \cdot f(X) = e \cdot y = y$, $f(E \times X) = f(X) = y = y$.
Это рассуждение представляется как основное, но оно не содержит упоминания о специфике $A_5$. Есс-но, оно ничего не доказывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторгруппа, изоморфизм.
Сообщение15.06.2014, 12:41 


01/10/13
37
То что $\{E,  -E\}$ является нормальной подгруппой проверить легко, это центр группы, а он, если не ошибаюсь, всегда является и нормальной подгруппой.
Попробовал пойти через образующие.
Судя по википедии, порождающие группы $A_5$ это $(1 2), (2 3), (3 4), (4, 5) $
Т.е. и в группе $SL_2(\mathbb{Z}_5)$ тоже должно быть 4 образующих.
Я знаю образующие для группы $SL_2(\mathbb{Z})$ , это матрицы $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Будут ли эти матрицы образующими в $SL_2(\mathbb{Z}_5)$? Естественно, после взятия по модулю, т.е. получаем $\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
В общем, я несколько запутался в решении и, как мне кажется, пошел куда-то не туда.

(Оффтоп)

О решении в Богопольском знаю, просто хочу найти какое-нибудь другое

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторгруппа, изоморфизм.
Сообщение15.06.2014, 14:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
nosochego в сообщении #875616 писал(а):
Судя по википедии, порождающие группы $A_5$ это $(1 2), (2 3), (3 4), (4, 5) $
:shock: А Вы знаете, что такое $A_5$?

nosochego в сообщении #875616 писал(а):
Я знаю образующие для группы $SL_2(\mathbb{Z})$ , это матрицы $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
А точно? Знаю, что она порождается трансвекциями, их всего будет 2 штуки. Ну если 1-ю матрица выражается через трансвекции и наоборот, то да.

nosochego в сообщении #875616 писал(а):
Будут ли эти матрицы образующими в $SL_2(\mathbb{Z}_5)$?
Ну ответ очевиден.

nosochego в сообщении #875616 писал(а):
В общем, я несколько запутался в решении и, как мне кажется, пошел куда-то не туда.
Ну как бы Вы еще никуда не дошли. Вы выберите стратегию сначала, как Вы будете доказывать? Если Вы думаете, что эти 2 матрицы по модулю 5 породят $A_5$, то как Вы это можете проверить? Ну полным перебором всех элементов, правда, их много будет. Попытайтесь подгруппы какие-нибудь найти, порядки элементов.

(Оффтоп)

nosochego в сообщении #875616 писал(а):
О решении в Богопольском знаю, просто хочу найти какое-нибудь другое
Пробуйте, воля Ваша, оно существует, т.к. в конце концов перебор общедоступен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторгруппа, изоморфизм.
Сообщение15.06.2014, 23:27 


23/05/14
33
Если бы знаете про проективное пространство(в данном случае будет $P\mathbb{F}_{5}^{1}$), то можете попробовать показать, что $SL_2(\mathbb{F}_{5})$ - представление $A_5$
Ну там найти элементы на котороые она действует и ее порядок, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторгруппа, изоморфизм.
Сообщение16.06.2014, 01:06 


23/05/14
33
Конечно же я имел ввиду фактор $SL_2(\mathbb{F}_{5})/Z(SL_2(\mathbb{F}_{5}))$ в своем сообщении, а не просто $SL_2(\mathbb{F}_{5})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторгруппа, изоморфизм.
Сообщение19.06.2014, 01:15 


01/10/13
37
А не могли бы вы подсказать, как выглядят элементы этого проективного пространства?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group