Необходимость и достаточность условия для точек эллипса

[math_question]

Читаю про эллипс в учебнике по геометрии. Каноническое уравнение выводится из определения:
$r_1 + r_2 = 2a$, т.е. сумма двух радиусов от соотв. фокусов до точки на эллипсе равна константе. К этому уравнению добавляются ещё два: $r_1^2 = (x + c)^2 + y^2$ и $r_2^2 = (x - c)^2 + y^2$, где $c$ — фокальное расстояние. Из этих трёх уравнений выводится канонический вид.

Далее по тексту следует "мы доказали, что ... эллипс содержится в кривой, представленной уравнением 7. (каноническим). Но это ещё не значит, что он и есть эта кривая: ведь она может содержать точки, для которых условие ($r_1 + r_2 = 2a$), определяющее эллипс, не выполняется."

Вот это мне не понятно. Если уравнение выведено в т.ч. и из определяющего условия, значит это условие всегда выполняется в уравнении. Зачем тогда ещё проверять дополнительное требование обязательности, казалось бы, на пустом месте?

[kp9r4d]

Если уравнение выведено следствиями, а не равносильными переходами, то могут появиться лишние решения. Например

$$y = \sqrt{x} \to y^2 = x$$

Второе уравнение — следствие первого, но они не эквивалентны.