Неравенства на положительные операторы

[catamaran]

Здравствуйте!
Вопрос к знающим функан.
Гильбертово пространство H, самосопряжённые операторы A и B.
Надо доказать, что если $A\geq 0$ и $B\geq A$, то $B^{\alpha}\geq A^{\alpha}$ $\forall\,\alpha\in(0,1]$ (для показателей, больших 1, это, вообще говоря, неверно, есть контрпример).
План был такой: доказать для $\alpha$ вида $\frac{k}{2^m}$ и воспользоваться плотностью этого множества в [0,1]. Но получилось только для квадратных корней (т.е. для $\alpha=\frac{1}{2^m}$), как действовать дальше -- не знаю. Может нужно как-то по-другому?

[sup]

Сначала немного переформулирую (перейдем к корням).
Пусть $A,B \geqslant 0$ - самосопряженные операторы и $\forall x \in H \quad ||Ax|| \geqslant ||Bx||$.
Тогда $\forall \alpha \in (0,1], \,\forall x \in H \quad ||A^{\alpha}x|| \geqslant ||B^{\alpha}x||$
Я действовал так. Сначала из справедливости утверждения для некого $\alpha$, доказываем, что оно справедливо и для $\alpha /2$. Далее, если утверждение справедливо для $\alpha$ и $\beta$. Тогда оно справедливо и для $(\alpha + \beta)/2$.
Я покажу как это происходит с матрицами. С операторами дело немножко сложнее, но идея та же самая.
Итак, пусть у нас $A,B \geqslant 0$ - симметричные матрицы. Без потери общности считаем, что $A$ - невырождена (иначе рассматриваем $A + \varepsilon E $). Рассмотрим матрицу $C = A^{-1/2}BA^{-1/2}$. Это симметричная матрица. Легко проверить, что ее собственные числа по модулю не превосходят 1, поскольку для них имеет место равенство $B y =\lambda Ay$. Значит и $||C || \leqslant 1$. Отсюда следует неравенство $(Bx,x) \leqslant (Ax,x)$, и наше утверждение справедливо для $\alpha = 1/2$. Теперь рассмотрим матрицу $D = A^{-3/4}B^{3/2}A^{-3/4}$. Для ее собственных чисел получаем соотношение
$A^{-1/2}B^{3/2}A^{-1}x = \lambda x$
В силу неравенств для $\alpha = 1$ и $\alpha = 1/2$ получаем, что и у этой матрицы $D$ собственные числа и норма не превосходят 1. Отсюда получаем утверждение для $\alpha = 3/4$. Ну и тд.
Для общих операторов соображения с собственными векторами так просто не проходят. Если $\lambda > 0$ - верхняя грань спектра $C$, то на некоторой последовательности ($x_n \not \to 0$) $\lambda x_n - Cx_n \to 0$. Отсюда следует, что $(\lambda A x_n - Bx_n, x_n) \to 0$ и $\lambda \leqslant 1$.
Ну как-то так.

[Oleg Zubelevich]

что-то я припоминаю, что самосопряженные операторы это тоже самое, что умножение на функцию в подходящем $L^2$, а посему результат фактически очевиден (по модулю спектральной теоремы)

[sup]

И я что-то такое припоминаю ... Правда для коммутирующих операторов
А вот для некоммутирующих - ничего не припоминаю. Разве что неравенства Хайнца. Но это все одно и то же.

[Oleg Zubelevich]

нет, коммутрирование ни при чем. Верна такая теорема. Всякое гильбертово пространство $H$ изоморфно некоторуму $L^2(D)$, где $D$ -- пространствос мерой. И всякому самосопряженному $A:H\to H$ отвечает оператор умножения на функцию в $L^2(D)$. Возможно, там в теореме еще какие-то подробности относительно $D$ имеются

[sup]

Хм, давайте с матрицами попробуем. Вот у нас две симметричных матрицы. Ваша теорема - суть приведение к диагональному виду. И что мы отсюда можем извлечь? Коммутирующие матрицы можно одновременно привести к диагональному виду. В этом случае все понятно. А если матрицы не коммутируют?
Когда-то давным-давно я пытался использовать геометрические соображения. Де мол есть два эллипсоида, один вложен в другой. Одновременно изменяем им полуоси (взятие степени). Как доказать, что вложенность останется? Я не помню, но вроде бы у меня ничего не вышло. Зато быстренько наткнулся на соображения с собственными векторами.

(Оффтоп)

Я, разумеется, уже знал, что это известный результат. (Какой удар со стороны классика ). Просто хотелось самому найти доказательство.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #876561 писал(а):

Верна такая теорема. Всякое гильбертово пространство $H$ изоморфно некоторуму $L^2(D)$, где $D$ -- пространствос мерой. И всякому самосопряженному $A:H\to H$ отвечает оператор умножения на функцию в $L^2(D)$.

Это $D$, разумеется, зависит от оператора, иначе любые два оператора бы коммутировали. А два оператора умножения на функцию в разных $D$ сравнивать довольно сложно. Я, правда, ничего нового по сравнению с sup не говорю.

[catamaran]

sup в сообщении #876550 писал(а):

Далее, если утверждение справедливо для $\alpha$ и $\beta$. Тогда оно справедливо и для $(\alpha + \beta)/2$.

Мне это соображение давно кажется верным, только я никак не могу его доказать для любых $\alpha$ и $\beta$.
В случае $\alpha=1,\,\,\beta=0$, то есть для корней, всё очень хорошо, потому что в выражении $((B-A)x,x)$ оператор $B-A$ можно разложить в произведение разности и суммы корней, так как в пространстве над $\mathbb{R}$
$(CDx,x)=(DCx,x)$ для любых самосопряжённых C и D. Дальше работает критерий Вейля.

А в правомерности использования обратных операторов я не уверен.

[Oleg Zubelevich]

что-то я чепуху сказал

но неужели нет спектральной теоремы из которой следовало бы утверждение?

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #876597 писал(а):

но неужели нет спектральной теоремы из которой следовало бы утверждение?

Для двух некоммутирующих самосопряжённых операторов со спектральными теоремами плохо. Но можно аккуратно составить из них один, как описал sup.

[VladimirKr]

Oleg Zubelevich в сообщении #876561 писал(а):

нет, коммутрирование ни при чем. Верна такая теорема. Всякое гильбертово пространство $H$ изоморфно некоторуму $L^2(D)$, где $D$ -- пространствос мерой. И всякому самосопряженному $A:H\to H$ отвечает оператор умножения на функцию в $L^2(D)$. Возможно, там в теореме еще какие-то подробности относительно $D$ имеются

Красивая теорема. А где можно прочитать это?