График отображения

[____]

Определение 1: Правило $f$, сопоставляющее каждому элементу $x \in X$ некоторый $y \in Y$, называется отображением из $X$ в $Y$.

Определение 2: Графиком отображения $f: X \to Y$ называется множество $\Gamma (f) \subset X \times Y$, состоящее из всех пар вида $(x, f(x))$.

Задача: Доказать, что подмножество $\Gamma \subset X \times Y$ является графиком отображения тогда и только тогда, когда для любого $x \in X$ найдется ровно один элемент $y \in Y$ такой, что $(x, y) \in \Gamma$.

Предполагаемое решение: Пусть $\Gamma$ -- график отображения, тогда, по определению графика, оно (подмн-во $X \times Y$) состоит из всех возможных пар вида $(x, f(x))$, т.е. для каждого $x$ существует некоторый $f(x)$, но по определению отображения $f(x)$ однозначно определяется по $x$, т.е. единственен. Обратно, пусть теперь $\forall x \in X$ $\exists ! y \in Y$ $|$ $(x, y) \in \Gamma$. Т.к. $y$ ровно один для каждого $x$, то $y=f(x)$, а значит $\Gamma$ -- график $f$.

Верно ли доказательство и есть ли где-то ошибки/недочеты ? Мне показалось, что тут вся задача именно в том, что нужно понять единственность $f(x)$, чего строго не оговорено в определении.

[patzer2097]

А Вы сразу называйте отображением из $X$ в $Y$ любое такое множество $\Gamma \subset X \times Y$, в котором для любого $x \in X$ найдется ровно один элемент $y \in Y$ такой, что $(x, y) \in \Gamma$. Тогда ничего доказывать не придется и можно будет продолжать читать учебник. Причем, я думаю, желательно взять какой-нибудь другой учебник

[____]

Спасибо, но учебник мне нравится :)
А можете как-нибудь доказательство оценить ?

[kp9r4d]

____
Как по мне дело вот какое. Как для абсолютно строгого доказательства, которые приняты, например, в некоторых учебниках логики недочётов тут много (например слова:«$f(x)$ однозначно восстанавливается по $x$» требуют расшифровки). Как для простого доказательства, цель которого — убедить себя этим доказательством настолько, чтобы убеждать им же других, то достаточно слов: «это очевидно». Так что и непонятно где и недочёты искать. Ник у вас классный, кстати!

[____]

kp9r4d в сообщении #876423 писал(а):

____
Как по мне дело вот какое. Как для абсолютно строгого доказательства, которые приняты, например, в некоторых учебниках логики недочётов тут много (например слова:«$f(x)$ однозначно восстанавливается по $x$» требуют расшифровки). Как для простого доказательства, цель которого — убедить себя этим доказательством настолько, чтобы убеждать им же других, то достаточно слов: «это очевидно». Так что и непонятно где и недочёты искать. Ник у вас классный, кстати!

Имел в виду, что для каждого $x$ существует и притом единственный $f(x)$ по определению отображения. Исходя из этого, учитывая то, что $\Gamma$ -- график, то тогда справедливо "для каждого $x \in X$ существует ..."

[kp9r4d]

____ в сообщении #876427 писал(а):

Имел в виду, что для каждого $x$ существует и притом единственный $f(x)$ по определению отображения.

Да я не о том и не про то. Ну, в общем, ладно. Доказательство хорошее, можете смело читать дальше.

[____]

Цитата:

Да я не о том и не про то

А про что ?

[svv]

Вы, наверное, согласитесь, что самый непонятный момент в определении 1) — это «правило». Что считать правилом, а что не считать? Великие предшественники пришли вот к чему: давайте считать правилом просто множество $\Gamma$ пар $(x, y)$, где $x\in X$, $y\in Y$, такое, что для любого $x$ существует единственное $y$, такое, что $(x,y)\in \Gamma$. И Вы, наверное, согласитесь, что да, это уточнение определения. Но после такого уточнения и доказывать нечего.

[____]

Да, кстати, у меня такой вопрос тоже появлялся: допустим, если каждому $x$ сопоставлять $x$ и $-x$, т.е. это два элемента, а не один. Будет ли это являться отображением (правилом) ?

[Munin]

Можно каждому $x\in X$ сопоставлять элемент не $Y,$ а $\mathcal{P}(Y),$ где $\mathcal{P}(Y)$ - множество всех подмножеств $Y$ (power set, булеан, $2^Y$). Тогда вы можете каждому $x\in X$ сопоставлять сколько угодно $y\in Y$ - и это всё равно будет функцией (отображением). Вот только область значений у этой функции будет другая.

[____]

Munin в сообщении #876458 писал(а):

Можно каждому $x\in X$ сопоставлять элемент не $Y,$ а $\mathcal{P}(Y),$ где $\mathcal{P}(Y)$ - множество всех подмножеств $Y$ (power set, булеан, $2^Y$). Тогда вы можете каждому $x\in X$ сопоставлять сколько угодно $y\in Y$ - и это всё равно будет функцией (отображением). Вот только область значений у этой функции будет другая.

Примерно так же решил, что будет сопоставляться множество как единый объект, т.е. в этом случае не может быть поставлено в соответствие какое-то другое множество.

[arseniiv]

____ в сообщении #876460 писал(а):

будет сопоставляться множество как единый объект, т.е. в этом случае не может быть поставлено в соответствие какое-то другое множество

(Непонятно как-то получилось — что вы хотели сказать?)

[____]

Хотел сказать, что это не будет противоречить определению. Т.е. если $x$ сопоставить $x$ и $-x$, то $f(x)$ будет множеством из двух элементов, которое одно и другого не может быть.

[Munin]

Можно при желании сопоставлять и не просто множество значений, а упорядоченное множество значений. И вообще, извращаться как угодно. Толку в этом немного, и применения находит редко.

Ну вот, например, можно считать, что произвольная кривая на плоскости $(x,y)$ - это как раз "многозначная функция" в указанном смысле $X\to\mathcal{P}(Y).$ Но при этом, заметьте, и множество отдельных точек - тоже такая функция. И закрашенная область - тоже. В общем, мало что ценного. Удобней сказать, что произвольная кривая - это множество точек, в которых некая другая функция $F(x,y)=0,\quad F\colon X\times Y\to\mathbb{R}.$ (Правда, при этом тоже может получиться и множество отдельных точек, и закрашенная область, но чаще будет линия.)