2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти сумму ряда
Сообщение15.06.2014, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Такая задача:

Докажите, что
$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{2n(2n-1)} = \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{3\cdot 4} + \cdots = \ln 2$

Я пробовал делать через площадь под гиперболой, но спотыкаюсь на втором слагаемом. Беру прямоугольник первый между $1$ и $2$, второй - между $\dfrac{4}{3}$ и $\dfrac{3}{4}$, дальше не могу ничего сделать.

Всё, чем можно пользоваться, это тем, что
$$2 < e < 3$$

$$\dfrac{x}{1+x} < \ln(1 + x) < x$$

$$\ln{xy} = \ln x + \ln y$$

$$S \limits^{\frac{1}{x}}_{[1; x]} = \ln x$$
где
$$S \limits^{f(x)}_{[a; b]}$$
площадь под графиком $f(x)$ на отрезке $[a; b]$

и что решение уравнения
$$\ln x = 1$$
и число
$$\lim \limits_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$
это одно и то же.

Производную и интеграл мы не умеем (в рамках задачи), умеем только ряды: признаки Д'Аламбера, радикальный Коши и $2^n$-Коши.

-- 15.06.2014, 21:51 --

То, что ряд сходится, получается из того, что
$$\lim \limits_{n\to\infty} \dfrac{4n^2 - 2n}{n^2} = 4$$, а ряд

$$\sum \limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$$ сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение15.06.2014, 21:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Это же хорошо известный ряд $1-1/2+1/3-1/4+\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 06:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Может, это и правда. Но, тем не менее, сумму это вычислить не позволяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 07:10 


29/08/11
1137
StaticZero, представьте общий член в таком виде: $\dfrac{1}{2n(2n-1)}=\dfrac{2n-(2n-1)}{2n(2n-1)}=\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}.$

Вы знаете, что $1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n} - \ln n \to \gamma, n \to \infty,$ где $\gamma$ -- постоянная Эйлера?

В общем, обозначьте $H_n=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}, n\ge 1.$ Тогда $\gamma_n=H_n-\ln n \to \gamma, n \to \infty.$
Далее, пусть $(s_n)$ -- последовательность частичных сумм исходного ряда.

Выразите $s_{2k}$ через $H_{2k}, H_k$ и покажите, что $s_{2k} \to \ln 2, k\to \infty.$ Сделайте соответствующие выводы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 07:30 


19/05/10

3940
Россия
Может все-таки через ряд для логарифма? Там надо только Абеля добавить

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 07:48 


29/08/11
1137
Просто подумал, что надо самым элементарным брать, ведь ТС написал, что
StaticZero в сообщении #875756 писал(а):
Производную и интеграл мы не умеем (в рамках задачи), умеем только ряды: признаки Д'Аламбера, радикальный Коши и $2^n$-Коши.

mihailm, а разве подобные ряды не природнее представить в виде $(-1)^{n-1}a_n$ и признаком Лейбница исследовать? Дирихле и Абеля здесь не помогают, ведь ряды для обоих множителей расходятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 09:07 


19/05/10

3940
Россия
я про другого Абеля) вторая лемма Абеля что ли которая называется

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Keter в сообщении #875921 писал(а):
Вы знаете, что $1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n} - \ln n \to \gamma, n \to \infty,$ где $\gamma$ -- постоянная Эйлера?
ъ
Не знаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 15:42 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Найдите предел $1/n+1/(n+1)+\ldots+1/(2n)$ при $n \to \infty$. Если сумеете, то и сумму ряда затем вычислите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 18:14 


19/05/10

3940
Россия
Вот вспомнил. Сумма исходного ряда считается в книге для школьников Коровин "Неравенства". Даже без производной)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 18:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
mihailm в сообщении #876127 писал(а):
в книге для школьников Коровин "Неравенства"
Только Коровкин. Хорошая книжка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 20:24 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

Конечно Коровкин. У меня этих книжек было две - одну так истрепал (в школе еще), что пришлось еще покупать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение16.06.2014, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Однако же Коровкин доказывал там сей факт совершенно бессознательно. Какие-то умножения, деления, сокращения...

В конце-то концов: откуда следует, что сумма $\frac1{n}+\frac1{n+1}+\ldots+\frac1{2n}$ стремится именно к логарифму двух?... -- Грубо говоря, из интегрального признака. Из того, что эта сумма двусторонне оценивается интегралами, для каждого из которых пределы интегрирования мало отличаются от крайних членов этой суммы.

Что, в свою очередь, следует из соответствующей двусторонней оценки для каждого слагаемого: $\int\limits_{k}^{k+1}\frac{dx}x<\frac1k<\int\limits_{k-1}^{k}\frac{dx}x$. Или, что то же:
$$\ln(k+1)-\ln k<\frac1k<\ln k-\ln(k-1)$$
Это были наводящие соображения для автора. А вот теперь можно про все интегралы забыть. Предположим, что эта пара неравенств нам уже известна. Тогда целевой рисалт получается тривиально: при суммировании этих цепочек по всем членам суммы все внутренние слагаемые сокращаются, оставшиеся разности (т.е. логарифмы соответствующих простеньких дробей) что слева, что справа очевидным образом сходятся к $\ln2$.

Но ведь Коровкин же ровно из этой пары неравенств и исходил! Ну разве что из самую малость перефразированной:
$$\ln\frac{k+1}{k}<\frac1k<\ln\frac{k}{k-1}.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group