приоритет логических операций

[popolznev]

Существует ли более-менее общепринятое соглашение о порядке выполнения исключающего "или" и штриха Шеффера? То есть как надо действовать, например, в формуле $x \oplus y \mid z$ — слева направо или в смысле $x \oplus (y \mid z)$?

[bot]

Сомневаюсь, что он есть, а если и есть, то кто же помнит? Поставьте лучше скобки.

[popolznev]

bot в сообщении #874250 писал(а):

Сомневаюсь, что он есть, а если и есть, то кто же помнит? Поставьте лучше скобки.

Я-то поставил бы. Я бы непременно поставил. Беда в том, что мне дали готовую формулу: $(xy\vee x\overline{z}) \oplus x \mid y$, и она мне не нравится. Зачем-то дизъюнкция в скобке, а потом скобки ни одной.

[whitefox]

Обычно полагают, что XOR имеет более низкий приоритет чем штрих Шеффера.
То есть формулу $(xy\vee x\overline{z}) \oplus x \mid y$
Нужно понимать как $(xy\vee x\overline{z}) \oplus (x \mid y)$

[popolznev]

whitefox в сообщении #874255 писал(а):

Обычно полагают, что XOR имеет более низкий приоритет чем штрих Шеффера.
То есть формулу $(xy\vee x\overline{z}) \oplus x \mid y$
Нужно понимать как $(xy\vee x\overline{z}) \oplus (x \mid y)$

Ага, спасибо. А где написано это?

[whitefox]

Навскидку не скажу, но именно так понимается эквивалентная формула
$(xy\vee x\overline{z}) \oplus \overline{xy}$

[bot]

А какой предпочтение здесь?

$x | y = \overline{xy}$

$x| y =\overline{x}\vee \overline{y}$

[popolznev]

bot в сообщении #874261 писал(а):

А какой предпочтение здесь?

$x | y = \overline{xy}$

$x| y =\overline{x}\vee \overline{y}$

Это к кому вопрос? И смысл вопроса мне как-то не того.

[bot]

Дык, если предпочесть второе, то скобки ставить надо.

[popolznev]

bot в сообщении #874263 писал(а):

Дык, если предпочесть второе, то скобки ставить надо.

Эээ, не понял, из чего это следует. Мало ли там что через что выражается.

[whitefox]

bot в сообщении #874261 писал(а):

А какой предпочтение здесь?

$x | y = \overline{xy}$

$x| y =\overline{x}\vee \overline{y}$

Первое.
Это NAND.
В этом случае штрих Шеффера выражается при помощи двух связок,
а во втором — трёх.

popolznev в сообщении #874256 писал(а):

А где написано это?

Вот, например, как Клини в "Математической логике" определяет
приоритеты связок в порядке возрастания (сам Клини говорит об убывании "ранга"):
$\sim,\supset,\&,\vee,\neg$

Обратите внимание, что по Клини дизъюнкция имеет более высокий
приоритет чем конъюнкция (при этом ссылается на Гильберта).
Сейчас более распространён обратный порядок.

В этом перечне нет ни XOR ни штриха Шеффера.
Но так как XOR эквивалентен отрицанию эквиваленции,
а штрих Шеффера эквивалентен отрицанию конъюнкции,
то логично приписать этим связкам те же приоритеты, что и их отрицаниям.

[bot]

whitefox в сообщении #874461 писал(а):

В этом перечне нет ни XOR ни штриха Шеффера.

Ну на нет и суда нет. Стало быть все наши измышлизмы на тему, что логично, а что нелогично, останется пустым трёпом. У каждого своя логика или даже ... две.

whitefox в сообщении #874461 писал(а):

Первое.
Это NAND.
В этом случае штрих Шеффера выражается при помощи двух связок,
а во втором — трёх.

Не убедили. Во втором случае одна операция над переменными под знаками отрицаний. Чем же это хуже? Отрицание как бы и не в счёт ... Имеет право на жизнь такая логика?

Судя по имеющимся скобкам в стартовом сообщении операция XOR выполняется раньше дизъюнкции, во всяком случае автор задачи так полагает, иначе скобок бы не ставил. В таком случае есть разница, ставить или нет скобки в выражении $A\oplus (x\vee y)$

И правильно, что никакого приоритета здесь не установлено.

[svv]

(Оффтоп)

Цитата:

В АЛГОЛе 60 семнадцать различных операций, и как-то было остроумно замечено, что если вы найдете человека, который сможет вам сказать, старшинство какой из операций $\equiv$ или $\supset$ выше, значит, вы нашли человека, написавшего соответствующую часть компилятора.

(Д.Баррон, Введение в языки программирования)

[whitefox]

bot в сообщении #874617 писал(а):

Ну на нет и суда нет. Стало быть все наши измышлизмы на тему, что логично, а что нелогично, останется пустым трёпом. У каждого своя логика или даже ... две.

Разумеется, расстановка приоритетов относится целиком на совесть автора. И даже в случае конъюнкции и дизъюнкции разные авторы решают этот вопрос по разному. Но, всё же, существует более употребительная и менее употребительная практика. Имхо, приоритет штриха Шеффера над XOR как раз и является более употребительной практикой. Фактически, обратный порядок мне ни разу не встречался, но не берусь утверждать, что его никто не использует.

И, вообще, чтобы формула понималась однозначно лучше приводить её в польской записи. Тогда и необходимость в скобках отпадает, и не нужно заморачиваться с приоритетами.