Тупой вопрос по диф. формам

[corvus42]

Начинаю изучать диф. формы. Там второй дифференциал всегда нулевой. В классическом курсе же были производные произвольных порядков и вообще говоря не нулевые. Как это согласуется?

[Munin]

Второй дифференциал нулевой - это аналог, например, таких утверждений трёхмерного анализа, что $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ и $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0.$

Надо понимать, что дифференциал (exterior derivative) дифформы - это не просто производная, в том смысле, как например, её берут от тензора, а ещё и антисимметризация этой тензорной производной. Вот эта антисимметризация и "убивает" лишнее. Например, пусть мы имеем некий полностью антисимметричный тензор $T_{i\ldots j},$ и берём от него вторую производную: $T_{i\ldots j,kl}.$ Теперь мы должны полностью антисимметризовать результат, а это значит, что мы на каждое слагаемое вида $\pm T_{\ldots\,,pq}$ получаем слагаемое вида $\mp T_{\ldots\,,qp}.$ А они равны! Вот и получается нуль.

Да и вообще, дифформы существуют не произвольных порядков. В $n$-мерном пространстве бывают дифформы порядков только $1\ldots n,$ а все остальные нулевые.

[corvus42]

Производные тензоров мне пока незнакомы, поэтому не понял вашего ответа.

Давайте более простую ситуацию, гладкая $f:\mathbb R\to\mathbb R$. В классическом анализе (а-ля Фихтенгольц и учебники для втузов) мы видим:

$$df=f'\,dx,\quad d^2f=d(f'\,dx)=f''\,dx^2,\quad\text{и т.д.}$$

В учебниках про диф. формы мы видим:

$$df=f'\,dx\,\quad d^2f=f''dx\wedge dx=0,\quad \text{дальше нули}$$

Чем отличается по существу классическое $dx$ от $dx$ как дифференциальная форма. Почему формальные правила дифференцирования форм выбраны так, что $d(dx)=dx\wedge dx=0$, в то время как в классическом анализе мы имеем ненелувой (вообще говоря) квадрат $(dx)^2 $ ?

Например, с помощью классических дифференциалов можно записать формулу Тейлора. А с помощью диф. форм можно?

[Munin]

corvus42 в сообщении #874846 писал(а):

Производные тензоров мне пока незнакомы

Хорошо, а хотя бы $\operatorname{rot}\operatorname{grad}$ и $\operatorname{div}\operatorname{rot}$ знакомы?

corvus42 в сообщении #874846 писал(а):

Чем отличается по существу классическое $dx$ от $dx$ как дифференциальная форма.

Почти ничего общего, просто похожие обозначения.

corvus42 в сообщении #874846 писал(а):

Почему формальные правила дифференцирования форм выбраны так, что $d(dx)=dx\wedge dx=0$, в то время как в классическом анализе мы имеем ненелувой (вообще говоря) квадрат $(dx)^2 $ ?

Ну просто так выбраны. Можете считать, что по принципу "почему бы и нет".

Не беспокойтесь, информация не теряется. Да, в дифформах мы не можем записать вторую производную. Но можем в тензорах. Есть два разных обобщения векторов: тензоры и дифформы.

Векторы
- в $n$-мерном пространстве имеют $n$ компонент;
- образуют линейное пространство: операции сложения и умножения на число;
- связаны со скалярами операциями градиента $s\mapsto v$ и дивергенции $v\mapsto s$;
- в 3-мерном пространстве имеют операцию векторного произведения;
- в 3-мерном пространстве имеют операцию ротора $v\mapsto v.$

Дифференциальные формы бывают степени (порядка) $p$:
- в $n$-мерном пространстве имеют $C_n^p=\tfrac{n!}{p!(n-p)!}$ компонент; отсюда $p\leqslant n$;
- знакопеременны: при перестановке любых двух аргументов меняют знак;
- образуют линейное пространство: операции сложения и умножения на число;
- имеют операцию внешнего произведения;
- связаны с формами степени $p\pm 1$ операцией внешнего дифференциала (exterior derivative);
- в частных случаях дают векторные операции векторного произведения, градиента, дивергенции, ротора.

Тензоры бывают ранга (валентности, типа) $p$:
- в $n$-мерном пространстве имеют $n^p$ компонент;
- в общем случае не симметричны по перестановке аргументов, но бывают в частных случаях симметричны и антисимметричны (= кососимметричны);
- образуют линейное пространство: операции сложения и умножения на число;
- имеют операции тензорного произведения, свёртки, симметризации и антисимметризации, (подъёма и спуска индекса);
- связаны с тензорами ранга $p+1$ операцией ковариантной производной (тензорного градиента); до изучения многообразий можно считать её совпадающей с "простой" производной;
- в частных случаях дают векторные операции векторного произведения, градиента, дивергенции, ротора;
- полностью антисимметричный тензор имеет $C_n^p$ компонент, и может быть отождествлён с $p$-формой - так что, в этом частном случае тензоры дают дифформы и все операции над ними.

Для тензоров вторая производная в общем случае не равна нулю. И никакая $k$-я не равна нулю. Именно с помощью тензоров записывают формулу Тейлора:

svv в сообщении #856393 писал(а):

$$y(\mathbf x+\mathbf h)=y(\mathbf x)+\frac{\partial y}{\partial x^i}(\mathbf x) h^i+\frac 1 2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^i \partial x^k}(\mathbf x) h^i h^k+\frac 1 6 \frac{\partial^3 y}{\partial x^i \partial x^k \partial x^\ell}(\mathbf x) h^i h^k h^\ell+...$$

... где в каждом слагаемом по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Вот эти вот штуки $\dfrac{\partial^3 y}{\partial x^i \partial x^k \partial x^\ell}$ с несколькими свободными индексами $i,k,\ell\ldots$ - это как раз и есть тензоры. То есть, весь набор частных производных $p$-го порядка образует тензор ранга $p$ (хотя, конечно, это не определение, а тензором ранга $p$ бывает вообще $n^p$ каких-то величин).

Итак, то, что вам хочется, бывает не в теории дифформ, а в теории тензоров. А зачем же тогда теория дифформ? А она для другого. Для чего именно - поначалу новичку объяснить очень сложно. Наиболее простой и прямой путь к пониманию дифформ, как мне кажется, - это через теорему Стокса (обобщённую). Практически, дифформы - это такие объекты, чтобы к ним можно было применять теорему Стокса, всегда и везде. По ходу дела, оказалось, что они обладают довольно важными свойствами с точки зрения топологии, и основанных на ней теорий. Например, главное свойство дифференциальных форм $d(d\varphi)=0$ в каком-то смысле "параллельно" тому топологическому свойству, что "граница границы равна нулю". В чём вы можете убедиться, представляя себе кусок поверхности (его граница - замкнутая линия, а концов у этой линии нет), объёмное тело (его граница - замкнутая поверхность, не имеющая краёв), просто кусок линии (его граница - две точки на концах, а у точек границ нет... ладно, это сложновато).

[Sicker]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #874910 писал(а):

просто кусок линии (его граница - две точки на концах, а у точек границ нет... ладно, это сложновато).

а это непонятно, ведь минимально возможная форма-нуль-форма(скалярная функция), и ей соответствует случай

Munin в сообщении #874910 писал(а):

представляя себе кусок поверхности (его граница - замкнутая линия, а концов у этой линии нет)

а вот как еще спуститься вниз я не представляю

[Munin]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #874917 писал(а):

Munin в сообщении #874910 писал(а):

просто кусок линии (его граница - две точки на концах, а у точек границ нет... ладно, это сложновато).

а это непонятно, ведь минимально возможная форма-нуль-форма(скалярная функция), и ей соответствует случай

Munin в сообщении #874910 писал(а):

представляя себе кусок поверхности (его граница - замкнутая линия, а концов у этой линии нет)

а вот как еще спуститься вниз я не представляю :-)

Скалярной функции как раз соответствует 0-мерное многообразие - точка. А линия 1-мерна, а кусок поверхности - 2-мерен. Интегралу по куску поверхности, в смысле обобщённой теоремы Стокса, соответствует обычная (3-мерная) теорема Стокса $\int\operatorname{rot}v\cdot dS=\oint v\cdot dl.$ Здесь ротор - операция, делающая из 1-формы $v$ 2-форму $\operatorname{rot}v,$ а взятие границы - операция, делающая из 2-мерной площадки $dS$ 1-мерный элемент контура этой площадки $dl.$

[Sicker]

(Оффтоп)

но мы сейчас говорим по $d(d\varphi)=0$, так вот, $\varphi$ это какая степени форма?(в вашем случае про границы точек). Те дифференциал нужно брать два раза, и получаем поверхность, граница границы которой(линия) есть ноль

[Munin]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #874917 писал(а):

а вот как еще спуститься вниз я не представляю :-)

И многообразия размерности ниже 0, и формы степени ниже 0 можно просто все считать нулями чисто аксиоматически.

Если очень хочется это "представить", то можно посмотреть на такую аналогию. В топологии по-разному представляют пространство и геометрические формы, и замечательный результат состоит в том, что их топологические свойства оказываются одинаковыми. Один из таких подходов называется симплициальной топологией - от слова "симплекс", то есть обобщение понятий "отрезок, треугольник, тетраэдр...". Евклидов симплекс - это выпуклая оболочка $k+1$ точек, таких, что векторы от одной из них ко всем остальным - линейно независимы. Можно представить себе абстрактный симплекс - это просто множество $k+1$ несовпадающих элементов, называемых "вершинами". Ориентированный абстрактный симплекс - упорядоченное множество. Граница симплекса - это сумма его $k-1$-мерных граней, взятых с нужными ориентациями:

$$\partial[0,1,\ldots,k]=\sum(-1)^i[0,\ldots,i-1,i+1,\ldots,k].$$

Тогда сразу получается, что 0-мерный симплекс - точка - это 1-элементное множество, а его грани - 0-элементные множества, то есть пустые.

-- 13.06.2014 15:38:59 --

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #874923 писал(а):

но мы сейчас говорим по $d(d\varphi)=0$, так вот, $\varphi$ это какая степени форма?

Вообще - любой.

Sicker в сообщении #874923 писал(а):

(в вашем случае про границы точек)

Не надо путать границы многообразий и дифференциалы дифформ. Это разные операции с разными объектами. Они всего лишь соответствуют друг другу по теореме Стокса (и по категорной двойственности). Например, дифференциалы дифформ обозначаются $d,$ а границы многообразий - $\partial.$

-- 13.06.2014 15:42:30 --

Sicker
Давайте с вами прекратим обсуждение, или по крайней мере, приостановим. Вы очень плохо поступили: схватили пару слов, и поскакали с ними в пампасы. Это всё не основания дофантазировать кучу самостоятельных выводов. Это всё части большой теории, которую надо читать долго и тщательно. Даже двух теорий: дифференциальной геометрии (глава о дифференциальных формах), и алгебраической топологии (глава о гомологиях и когомологиях).

[Sicker]

(Оффтоп)

Цитата:

Вообще - любой.

в вашем случае про границы точек?(считаем, что минимально возможная степень формы-нуль(скалярная функция))

Цитата:

Не надо путать границы многообразий и дифференциалы дифформ. Это разные операции с разными объектами. Они всего лишь соответствуют друг другу по теореме Стокса (и по категорной двойственности). Например, дифференциалы дифформ обозначаются $d,$ а границы многообразий - $\partial.$

это понятно, вот я только и про соответствие и говорю

-- 13.06.2014, 15:45 --
Munin
да я ничегошеньки не фантазировал, а просто задал вопрос про соответствие

[Munin]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #874931 писал(а):

в вашем случае про границы точек?

В моём случае про границы точек - вообще никаких дифформ не фигурирует.

Sicker в сообщении #874931 писал(а):

это понятно, вот я только и про соответствие и говорю :-)

Чтобы про него говорить, его надо сначала построить. А вы знаете как? Я вам не говорил, если что.

[Sicker]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #874939 писал(а):

В моём случае про границы точек - вообще никаких дифформ не фигурирует.

тогда вопрос снят

Munin в сообщении #874939 писал(а):

Чтобы про него говорить, его надо сначала построить. А вы знаете как? Я вам не говорил, если что.

ну примерно да, ведь есть же определение внешнего дифференциала через теорему Стокса(те спереду назад)

[type2b]

Munin, вы запутаете ТС: дифформы это частный случай тензоров. ${\rm d}x^{i_1}\wedge\dots\wedge{\rm d}x^{i_n}=\sum_{\sigma}(-1)^{{\rm sign}(\sigma)}{\rm d}x^{\sigma(i_1)}\otimes\dots\otimes{\rm d}x^{\sigma(i_n)}$

ТС, краткий ответ на ваш вопрос такой: аналогом ${\rm dd}\omega=0$ является $(\partial_i\partial_j-\partial_j\partial_i)f=0$. (Я обозначаю $\partial_i\equiv \partial/\partial x^i$.)
Диф. формы -- это антисимметричные тензоры, т.е. функции с индексами $\omega_{i_1\dots i_n}$, с условием антисимметричности. Внешний дифференциал вычисляется по рецепту: взять производную, и антисимметризовать индекс у производной с имеющимися индексами омеги. Если мы повторим внешнее дифференцирование дважды, то нам придется антисимметризовать по индексам две производные, а поскольку частные производные коммутируют, мы получим ноль.

Можно на тензорах определить и обычный дифференциал, без антисимметризации, только он будет переводить антисимметричные тензоры в не обязательно антисимметричные, т.е. будет выводить за класс диф. форм. Кроме того, на кривом многообразии производные надо заменять на ковариантные. Внешнее дифференцирование приятно тем, что кристофеля сокращаются из-за антисимметризации, и можно писать обычные производные.

Буковки $dx^i$ в обычном дифференциале и в диф. формах одни и те же, но перемножены по-разному. В диф. формах их произведение антисимметризовано. В дифференциале функции оно симметризовано, т.к. производные коммутируют. В дифференциале тензора в общем случае они не симметризованы и не антисимметризованы.

[corvus42]

Теперь ясно.

[Munin]

Ну вот. Я ввёл одно незнакомое слово, и мне сказали "неясно". type2b ввёл целую кучу незнакомых слов, и ему сказали "ясно" :-)

[corvus42]

Ясно по совокупности сообщений