Параметрический интеграл

[Бабай]

Доброго времени суток.

Имеется простая лемма для интегралов, зависящих от параметра, которую (с точностью до обозначений) можно найти например в Зориче Том 2 или Макаров, Подкорытов, "Лекции по вещественному анализу".

Пусть $f \in C^1([c,d])$ и $a < f(x)$ при $x \in [c,d]$. Если $Y(x,y)$ имеет гладкость $C^1$ в окрестности $T=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x \in [c,d],a \le y \le f(x) \}$, то
$\int_a^{f(x)} \frac{\partial Y}{\partial x} (x,y) \, dy = \frac{d}{dx} \left( \int_a^{f(x)} Y(x,y) \, dy \right) - Y(x,f(x)) f'(x)$.


Док-во
Рассмотрим ф-ю $F(x,s)=\int_a^s Y(x,y) \, dy$, определённую на достаточно малой окрестности $T$. Т.к. $\frac{\partial}{\partial s} F(x,s)=Y(x,s)$ и$\frac{\partial}{\partial x} F(x,s)=\int_a^s \frac{\partial}{\partial x} Y(x,y) \, dy$, дифференцируя $F(x,f(x))$ по $x$ получаем:

$\frac{d}{dx} (\int_a^{f(x)} Y(x,y) \, dy ) = \frac{\partial F(x,s)}{\partial x} + \frac{\partial F(x,s)}{\partial s} f'(x) = \int_a^{f(x)} \frac{\partial}{\partial x} Y(x,y) \, dy +Y(x,f(x))f'(x)$

Всё прекрасно. Но вот вопрос. Что конкретно может поменяться в формулировке и доказательстве, если ослабить условия и предположить, что функция $f$ лишь удовлетворяет условию Липшица (на данном отрезке)? Нужно ли для строгости что-то здесь менять, кроме конечно оговорки о существовании производной $f'$ почти везде в силу теоремы Радемахера?