Глупый вопрос по матанализу

[Terraniux]

Подскажите, пожалуйста, сходится ли такой интеграл? Вроде, нет.
$\displaystyle\int\limits_0^{1}{\sqrt[3]{\tg\dfrac{1}{x}} \,e^{-\tfrac{1}{x^2}}dx}$

Deggial: название темы модераторъскою волею насильно изменено на более отражающее суть вопроса.

[demolishka]

Terraniux в сообщении #873382 писал(а):

Вроде, нет.

Что вас натолкнуло на такой ответ?

[Terraniux]

Хотя, возможно, нет.
Точка $x=0$ - точка разрыва второго рода. В ее окрестности подынтегральная функция имеет счетное число точек бесконечного разрыва. В каждой из них интеграл сходится по признаку сравнения ($\sqrt[3]{\tg{x}} \sim \sqrt[3]{x} $). При этом, в силу экспоненциального убывания "коэффициента" $e^{-\tfrac{1}{x^2}}$ имеем сходящийся ряд $\Rightarrow$ инт-л сходится?
Просто не совсем понятно: несобственный интеграл Римана вводился для конечного числа точек разрыва - а здесь их бесконечно.

[Otta]

Terraniux в сообщении #873420 писал(а):

В каждой из них интеграл сходится по признаку сравнения ($\sqrt[3]{\tg{x}} \sim \sqrt[3]{x} $)

Что, прямо в точках разрыва такая эквивалентность?

Terraniux в сообщении #873420 писал(а):

Просто не совсем понятно: несобственный интеграл Римана вводился для конечного числа точек разрыва - а здесь их бесконечно.

Вот именно. Интересно, откуда Вы взяли этот интеграл. На учебный он не тянет. Может, исходная задача другая?

[Terraniux]

Otta в сообщении #873445 писал(а):

Terraniux в сообщении #873420 писал(а):

В каждой из них интеграл сходится по признаку сравнения ($\sqrt[3]{\tg{x}} \sim \sqrt[3]{x} $)

Что, прямо в точках разрыва такая эквивалентность?

Terraniux в сообщении #873420 писал(а):

Просто не совсем понятно: несобственный интеграл Римана вводился для конечного числа точек разрыва - а здесь их бесконечно.

Вот именно. Интересно, откуда Вы взяли этот интеграл. На учебный он не тянет. Может, исходная задача другая?

Имеется в виду, корень из тангенса сходится. Поэтому, на каждой точке разрыва в окрестности нуля имеем конечную сумму.
Нет, интеграл не учебный - друг предложил.

[SpBTimes]

Кстати я вот не знаю, что тут делать. Так как $0$ - точка сгущения. Определен ли вообще такой объект?

[Otta]

Terraniux в сообщении #873674 писал(а):

Поэтому, на каждой точке разрыва в окрестности нуля имеем конечную сумму.

Почему?

[ex-math]

SpBTimes
А что мешает определить как предел "частичных" интегралов?

[SpBTimes]

ex-math
Это как?

[_Ivana]

Возможно, предлагалось рассмотреть предел интегралов от эпсилон до единицы при стремлении эпсилон к нулю справа.
ЗЫ а чем ТС мотивировал фамилию Риман? Насколько я смутно слышал, интегралов бывает много разных, и где одни расходятся, другие, бывает, сходятся...

[ex-math]

Ну да. "Частичные" интегралы существуют как несобственные и их предел тоже.

[Terraniux]

ex-math в сообщении #873749 писал(а):

SpBTimes
А что мешает определить как предел "частичных" интегралов?

В своем сообщении я предлагал такой метод. Но, вообще, это определение несобственного интеграла Римана. Поэтому, исходный интеграл сходится.

[ex-math]

Terraniux
Здесь есть терминологический нюанс. Несобственный интеграл Римана есть предел собственных интегралов. У Вас же -- предел несобственных интегралов. Если мы придадим Вашему интегралу такой смысл, то он да, сходится.