Странный график

[ИСН]

(Задача не моя, не новая, и на олимпиаду тянет для школьников разве что, но - здесь вроде не было, так пусть будет.)
Мыслимо ли такое, чтобы график функции (из $\mathbb R$ в $\mathbb R$) совмещался сам с собой при повороте на $\pi/2$ вокруг какой-то точки?

[metall]

Ну что-нибудь, вроде этого, где ось вращения проходит через точку (1;1) перпендикулярно плоскоски Oxy:

\[ y = \left\{ \begin{gathered} 1 + 2\sqrt {10 - \left( {x + 1} \right)^2 } ,x \in \left[ {1 - \cos \left( {\frac{{999\pi }} {{8000}}} \right);1 - \cos \left( {\frac{{1001\pi }} {{8000}}} \right)} \right]; \hfill \\ 1 - 2\sqrt {10 - \left( {x + 1} \right)^2 } ,x \in \left[ {1 - \sin \left( {\frac{{1001\pi }} {{8000}}} \right);1 - \sin \left( {\frac{{999\pi }} {{8000}}} \right)} \right]; \hfill \\ 1 + 2\sqrt {10 - \left( {x + 1} \right)^2 } ,x \in \left[ {1 + \sin \left( {\frac{{999\pi }} {{8000}}} \right);1 + \sin \left( {\frac{{1001\pi }} {{8000}}} \right)} \right]; \hfill \\ 1 - 2\sqrt {10 - \left( {x + 1} \right)^2 } ,x \in \left[ {1 + \cos \left( {\frac{{1001\pi }} {{8000}}} \right);1 + \cos \left( {\frac{{999\pi }} {{8000}}} \right)} \right]. \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

[ИСН]

Вы специально так, да? Я, кажется, на решение сабжевой задачи когда-то потратил меньше времени, чем чтобы сейчас понять, что это у Вас такое Написали бы "Четыре кусочка окружности, не закрывающие друг друга в проекции" - честное слово, я бы понял.
Тоже вариант; но а если я попрошу сделать область определения во всю $\cal R$, что тогда?

[Someone]

$$y=\begin{cases}0\text{ при }x=0\text{,}\\ 1+x\text{ при }x\in(2k-2,2k-1]\text{, }k\in\mathbb N\text{,}\\ 1-x\text{ при }x\in(2k-1,2k]\text{, }k\in\mathbb N\text{,}\\ -1+x\text{ при }x\in[-2k+1,-2k+2)\text{, }k\in\mathbb N\text{,}\\ -1-x\text{ при }x\in[-2k,-2k+1)\text{, }k\in\mathbb N\text{,}\end{cases}$$

$\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$.

Кажется, не наврал.

[ИСН]

Раскинув мозгами так и сяк, вынужден признать, что решение Someone (слева) нравится мне слегка больше, чем моё (справа).
Оба отвратительны в виде формул, зато приятны в виде графиков.
Вот оне:

(Ну, там ясно, что моё - оно фрактально продолжается ближе к нулю.)

[ИСН]

Upd.
Как насчёт поворота на $\pi\over3$?

[quartermind]

По трансфинитной индукции такой странный график можно нарисовать для любого угла, даже несоизмеримого с $\pi$.

Занумеруем $\mathbb{R}$ младшим континуальным ординалом и будем задавать $f(x)$ в порядке очереди. На $\alpha$-том шаге либо $f(x_\alpha)$ уже задано симметрией и прошлыми шагами, либо конфликтных значений для $f(x_\alpha)$ будет не более $\aleph_0 \cdot \lvert \alpha \lvert$ против континуума возможных.

[ИСН]

Да это понятно, что с помощью аксиомы выбора можно. А по-человечески (ну, явную и хотя бы кое-где непрерывную функцию)?

[ИСН]

Спросил и забыл. А ответ-то есть.

https://math.stackexchange.com/question ... 99#2158299

[ozheredov]

ИСН

А просто $|y|= |x|$ не подходит? Какую роль играют разрывы у вас и у Someone? И главное, в какой проге вы построили графики с таким потрясающим сглаживанием?

[ИСН]

$|y|= |x|$ - это не функция. А хотелось-то функцию.

[ozheredov]

ИСН
Аа, в том смысле что одному значению входного аргумента соответствуют неск. выходных? Я думал, что у вас точно также, а сейчас присмотрелся... неужели разрывы играют именно эту роль -- чтобы все вертикальные линии пересекали графики не более чем в одной точке?

[Heart-Shaped Glasses]

Да, именно эту. Там на рисунке даже проекции специально отмечены.