теоретическая на обобщенные фунции, фундам-ное решение

[Ivan0001]

19.11(б), как записано в тетради (в аналогичной задачке), имеет фундаментальное решение $E=\theta(t) y_{0}(t)$, где $y_{0}$ решение системы: \left\{\!\begin{aligned} & y_{0}(0)=y'_{0}(0)=...=y^{(n-2)}_{0}(0)=0 \\ & y^{(n-1)}_{0}(0)=1 \\ & Ly_{0}=0 \end{aligned}\right.
Значит, $y_{0}(t)=\sin(t)$, насколько мне известно, фундаментальных решений может быть много?! В ответе, $\theta(x) \sin(x)$, мне кажется, ответ верен, тогда, где я допустил ошибку?

[Oleg Zubelevich]

Ivan0001 в сообщении #872926 писал(а):

я немного сбит с толку))

use Theorem 8.14 and for the $\phi$ take a function from $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ I am tired to switch the keyboard every time

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #872968 писал(а):

где я допустил ошибку?

Какую ошибку -- и где, собссно?...

Ivan0001 в сообщении #872968 писал(а):

насколько мне известно, фундаментальных решений может быть много?!

Конечно. В принципе, фундаментальное решение -- это решение соотв. дифура с дельта-функцией в правой части. И таких решений бесконечно много, разумеется.

А дальше -- всё зависит от того, какие дополнительные условия накладываются. Вот в аналогичном многомерном случае естественными допусловиями являются сферическая симметрия плюс стремление к нулю на бесконечности. В вашем же (одномерном) случае, судя по приведённой Вами задачке, таковым условием считается принадлежность этого решения классу оригиналов (в смысле операционного исчисления). Ну тогда, естественно, Хевисайд на синус.

[Ivan0001]

ewert в сообщении #872984 писал(а):

Ivan0001 в сообщении #872968
писал(а):
где я допустил ошибку?
Какую ошибку -- и где, собссно?...

В ответе фундаментальное решение зависит от $x$, а при решении мы берем его, как функцию, зависящую от $t$.

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #874688 писал(а):

В ответе фундаментальное решение зависит от $x$, а при решении мы берем его, как функцию, зависящую от $t$.

Ну это уже совсем какая-то ерунда. Какая разница, какой буквой обозначать аргумент?

[Ivan0001]

ewert в сообщении #874692 писал(а):

Ivan0001 в сообщении #874688
писал(а):
В ответе фундаментальное решение зависит от $x$, а при решении мы берем его, как функцию, зависящую от $t$.
Ну это уже совсем какая-то ерунда. Какая разница, какой буквой обозначать аргумент?

Простите, ewert, фундаментальное решение зависит от $x$ и $t$, поэтому подобный ответ меня немного путал в правильности моего решения.

Oleg Zubelevich в сообщении #872879 писал(а):

надо сворачивать $f$ с $\delta$-образной последовательностью из $\mathcal{S}(\mathbb{R})$.

8.14 Theorem. Suppose $\varphi \in L^1$ and \int \varphi(x) dx =a
a. If f \in L^p (1 \leqslant p <\infty), then f \ast \varphi_{t} \to a \cdot f in the L^p norm as t \to 0.
b. If f is bounded and unifonnly continuous, then f \ast \varphi_{t} \to a \cdot f uniformly as
t \to 0.
c. If f \in L^{\infty} and f is continuous on an open set U, then f \ast \varphi_{t} \to a \cdot f unifonnly on compact subsets of U as t \to O.

Здесь, \varphi_{t}(x)=t^{-n} \cdot \varphi(t^{-1} \cdot x)

Раз, f \in L^1, то \int\limits_{R} |f(x)|dx=\left\| f \right\|_{L^1} =\operatorname{const}=a. Беру \psi \in S(R), получаю \psi \ast f_{t}\to a \cdot \psi, но где мне это теперь нужно использовать?

[Oleg Zubelevich]

ну плохо, что даже теперь не понимаете.
У нас есть $(f,\psi)=0$ -- для любого $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ значит $f*\psi_t=0$, но при этом $f*\psi_t\to f$ значи $f=0$ пв

[Ivan0001]

Oleg Zubelevich в сообщении #874728 писал(а):

значит $f \ast \psi_t=0$, но при этом $f \ast \psi_t\to f$

$(f \ast \psi_t)(x)=\int\limits_{R} f(y) \cdot t^{-n} \cdot \psi(\frac{ x-y }{ t }) dy$.
$ (f,\psi)=\int\limits_{R} f(y) \cdot \psi(y) dy$. Выглядят они по разному, но, видимо, $\psi(\frac{ x-y }{ t }) $ принимает те же значения, что и $\psi(y)$, поэтому $f \ast \psi_t=0$. Далее, видимо, \int\limits_{R} \psi(y)dy=1. Здесь мы берем именно такую \psi \in S(R)?! Поэтому п.в.