функциональное уравнение

[Spook]

Требуется найти не равную тождественно нулю непрерывную $f(x)$:$f(x^n)=\alpha f(x)$, $n\in\mathbb{N}, x>0,\alpha\in\mathbb{R}$. Видно, что как-то связано с логарифмами, и что$f(1)=0$, дальше пока не получается. Есть ли учебная литература по этой теме?

[ИСН]

Ну вот логарифм и есть ответ. А что Вы хотите дальше?

[Spook]

Был-бы, если бы $\alpha=n$, но это не так.

[ИСН]

Тогда уточните термины. $\alpha$ - это что? Число такое? Оно дано? Оно одно?

[Spook]

ИСН, неизвестен только вид функции, параметры фиксированы.

[ex-math]

Ну покрутите с логарифмом что-нибудь. Можно в степень возвести.

[ИСН]

А, ну тогда возведите логарифм в какую-то хитро подобранную степень, это и будет ответ.
Но вообще ответов много, и вот ещё один: допустим, $n=2$, тогда делаем так. Пусть $f(2)=1,\;f(4)=\alpha$, а между ними рисуем произвольную кривую прихотливым движением руки. Дальше распространяем в обе стороны по уравнению.

[takeover]

Spook в сообщении #872885 писал(а):

$f(1)=0$

Неправда. Ответ вообще придумывается очень легко без всяких логарифмов, если мы вправе сами выбрать $n$ и $\alpha$ при данных ограничениях на них.

[Spook]

Степень будет $log_n{\alpha}$. У меня более простая вещь не получается, получить только логарифм из $f(x^n)=nf(x)$. Судя по всему, им дело не ограничивается.

[Xaositect]

Для точек вида $2^{m/n}$ будет логарифм, а для остальных нужна непрерывность.

[Xaositect]

А, $n$ фиксировано? Извините, не прочитал всю тему.
Тогда да, кроме логарифмов будут другие непрерывные, как ИСН говорит:

ИСН в сообщении #872904 писал(а):

Но вообще ответов много, и вот ещё один: допустим, $n=2$, тогда делаем так. Пусть $f(2)=1,\;f(4)=\alpha$, а между ними рисуем произвольную кривую прихотливым движением руки. Дальше распространяем в обе стороны по уравнению.

[Spook]

Просто меня сначала смутило, что $f(xy)=f(x)+f(y)$ имеет решением только логарифм. Сейчас все понятно, спасибо.