Математика для школьной физики, программа

[Munin]

Направление 3. Векторы в пространстве \Large $n$ переменных.

Вектор в алгебраическом смысле ("свободный", отнесённый к началу координат). Координаты вектора.
Задание вектора графически, численно, алгебраически по координатам, векторные алгебраические переменные.
Сложение и умножение на число. Алгебраические свойства.
Особенности работы с алгебраическими выражениями с векторами.
Выражение векторами геометрических положений точек. Середина отрезка как важный пример.
Проекция г. м. т. на плоскость и на прямую в 2 и 3 измерениях. Проекция вектора.
Скалярное произведение векторов - геометрическое и координатное определение. (Можно обосновать их эквивалентность.) Формула $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=ab\cos\angle\mathbf{ab}.$ Алгебраические свойства.
Вывод геометрических понятий расстояния и угла из скалярного произведения.
Понятие расстояния и угла в $n$ измерениях. Шар и сфера, их формулы.
Векторное произведение $\mathbb{R}^3,$ геометрическое определение. Алгебраические свойства.
Векторное произведение $\mathbb{R}^3,$ вычисление через координаты.
Аналог векторного произведения в $\mathbb{R}^2.$ (Знакомство с аналогом в $\mathbb{R}^n$?)

-- 07.06.2014 17:16:08 --

ewert
Вы глухи? Подите прочь!

[Pphantom]

Munin в сообщении #872781 писал(а):

Ну неправда это. Подите полистайте школьные учебники. Я вот это сделал, и ужаснулся.

И все-таки: где, что и зачем?

P.S. Я вроде как учитель физики высшей категории. Соответственно, достаточно хорошо представляю, что написано в школьных учебниках.

-- 07.06.2014, 16:27 --

ewert в сообщении #872792 писал(а):

Она, в принципе, иногда и используется. Но в записи отнюдь не на языке векторного анализа.

Совершенно верно.

ewert в сообщении #872792 писал(а):

На самом деле есть ещё один элемент именно векторного анализа, который безусловно нужен и в том или ином виде просвечивает. Это -- понятия градиента и потенциала. Однако за отсутствием векторного анализа эти понятия формулируются очень завуалированно.

Потенциал - да, но его использование в школе четко ограничено ЗСЭ и сопутствующими вещами, поэтому без векторного анализа можно успешно обойтись. А вот градиент нужно использовать только в том случае, если специально задаться такой целью, иначе без него легко можно обойтись.

[Munin]

Пёрышкин 8 класс глава 4 "Электромагнитные явления":

Магнитные линии.
Магнитные линии представляют собой замкнутые кривые, охватывающие ток. (Отсутствие источников.)
Магнитные линии выходят из северного полюса магнита, и входят в южный.
Магнитные линии постоянного магнита - замкнутые, замыкаются внутри магнита.

По Громову-Родиной, например, это всё в учебнике 9 класса.

Пёрышкин 8 класс глава 3 "Электромагнитное поле":

Густота магнитных линий показывает силу поля. (Сохранение потока вдоль трубки поля.)
Однородное и неоднородное магнитное поле.
Сгущение магнитных линий к полюсам магнита и к проводам с током.
Магнитный поток.
При изменении магнитного потока через контур в нём возникает индукционный ток. (Неявное использование теоремы Стокса.)

Касьянов 11 класс глава 3 "Электромагнетизм":

ЭДС индукции равна минус скорости изменения магнитного потока. (Окончательно теорема Стокса.)

[ewert]

Pphantom в сообщении #872803 писал(а):

А вот градиент нужно использовать только в том случае, если специально задаться такой целью, иначе без него легко можно обойтись.

Ну не буквально же о градиенте речь. Разве нигде не используется то, что напряжённость получается дифференцированием потенциала?

[Munin]

Pphantom в сообщении #872803 писал(а):

Совершенно верно.

Pphantom! Обращаюсь к вам ещё раз! Подите прочитайте ссылки в начале темы! Там вы найдёте пояснения по контексту обсуждения.

Да, всем очевидно, что математика в курсе физики даётся "не в математической записи", завуалированно, "на пальцах", "с размахиванием руками", и т. п.

Но это не значит, что это - не математика! По сути, излагаются именно математические концепции, и техника работы с ними для решения задач и для качественного понимания явлений. (Качественное поведение математических объектов - тоже часть математики.)

И на это тратится уйма времени и сил. Вся данная тема (с первого поста, если не смотреть на нанесённую склочниками грязь) преследует цель исправить это положение. Рассказать математику явно как математику. Ввести необходимые обозначения и правила работы с ними. Упомянуть математические факты. За доказательствами отослать "вперёд" - в вузовские курсы высшей математики, потому что для физики эти доказательства не нужны. Научить решать математические задачи. Не "на доказательство", а "на вычисление".

Потратьте немного сил, чтобы "въехать", о чём разговор!

[Pphantom]

Munin в сообщении #872812 писал(а):

Пёрышкин 8 класс глава 4 "Электромагнитные явления":
...

Ну да. Ни для чего этого предлагаемая математика не нужна.

Munin в сообщении #872816 писал(а):

Подите прочитайте ссылки в начале темы! Там вы найдёте пояснения по контексту обсуждения.

Уже прочитал, и даже не один раз.

Munin в сообщении #872816 писал(а):

Но это не значит, что это - не математика! По сути, излагаются именно математические концепции, и техника работы с ними для решения задач и для качественного понимания явлений.

Ничего подобного. Излагаются физические концепции (что, вообще говоря, логично для предмета под названием "физика"). То, что их можно описать каким-то образом с использованием того или иного математического аппарата - отдельный вопрос, значительной части учеников даже физико-математических школ совершенно не нужный.

Более того, и тем, кому это потом понадобится, на школьной стадии усваивать это в таком виде не стоит. Школьная физика и так излишне математизирована, из-за чего школьники нередко изучают не столько физику, сколько особенности конкретных моделей в конкретной области. Именно поэтому Ваш п.12 на самом деле должен быть первым. И, если его не удастся усвоить нормально - и единственным.

-- 07.06.2014, 18:16 --

ewert в сообщении #872814 писал(а):

Ну не буквально же о градиенте речь. Разве нигде не используется то, что напряжённость получается дифференцированием потенциала?

В стандартной школьной программе нет даже этого. В углубленной - есть, но за пределы одномерных задач это и там не выходит. Соответственно, нет смысла вводить градиент, производной по координате более чем достаточно.

[Munin]

Pphantom в сообщении #872833 писал(а):

Ну да. Ни для чего этого предлагаемая математика не нужна.

Она нужна для того, чтобы рассказывать физику, и при этом не врать.

Pphantom в сообщении #872833 писал(а):

Ничего подобного. Излагаются физические концепции (что, вообще говоря, логично для предмета под названием "физика").

Тут, наверное, что-то вроде "куба Неккера". Я тоже всю жизнь думал, что это физические концепции, а сейчас понял, что нет - математические. В чистом виде.

Подожду, пока у вас тоже "переключится".

Pphantom в сообщении #872833 писал(а):

Более того, и тем, кому это потом понадобится, на школьной стадии усваивать это в таком виде не стоит. Школьная физика и так излишне математизирована, из-за чего школьники нередко изучают не столько физику, сколько особенности конкретных моделей в конкретной области.

Это интересно, но пожалуйста, с этим обсуждением - в предыдущие темы!!! Эта - конкретно для продумывания конкретного предложения.

[Pphantom]

Munin в сообщении #872859 писал(а):

Тут, наверное, что-то вроде "куба Неккера". Я тоже всю жизнь думал, что это физические концепции, а сейчас понял, что нет - математические. В чистом виде.

Физические. Другое дело, что в этих учебниках они излагаются, скажем так, не слишком удачно. Причем по той же самой причине - авторы учебников тоже привыкли и изложению физики "от матмоделей".

Munin в сообщении #872859 писал(а):

Эта - конкретно для продумывания конкретного предложения.

Ну, тогда проще сказу сказать, что "конкретное предложение" - нереализуемая утопия. Это в таком виде успешно переварит десяток школьников в стране, причем и для них это будет скорее способом изучения математики, нежели физики.

[ewert]

Pphantom в сообщении #872876 писал(а):

Ну, тогда проще сказу сказать, что "конкретное предложение" - нереализуемая утопия.

Я бы даже сказал более технически. А кто это будет вести-то?...

Предположим даже, что это не утопия. Так кто?...

Учитель математики не сможет как минимум по двум причинам. Во-первых, он некомпетентен в том смысле, что не знает, чего этим физикам надо и под каким именно соусом. Во-вторых, у его учеников сложится когнитивный диссонанс -- им непременно покажется, что он гонит туфту. То ли его "нормальная" математика туфта, т.к. непонятно зачем она; то ли "прикладная", т.к. выглядит явным жульничеством на фоне "нормальной".

С учителем физики подобной проблемы не возникнет: он априори воспринимается, как человек о другом и, соответственно, его изложение -- как некий альтернативный взгляд. Но тут другая проблема: у нормального учителя физики не хватит математического кругозора.

В общем, если кто и в состоянии всё это (или хоть часть из этого) начитать , то лишь физик-теоретик, причём достаточно высокого уровня. Однако же физиков-теоретиков на всех не напасёшься.

[Munin]

Pphantom в сообщении #872876 писал(а):

Ну, тогда проще сказу сказать, что "конкретное предложение" - нереализуемая утопия. Это в таком виде успешно переварит десяток школьников в стране,

Речь о том, чтобы радикально упростить материал. Без доказательств, обоснований и технических тонкостей - он крайне прост. Ну сравните, числа дают детям в 1 классе, десятичные дроби - тоже где-то там (не помню точно), с площадями, длинами и углами знакомят вообще в детском саде. Зачем выдумывать сложности там, где их нет? Да любой ребёнок знает, что такое искривлённая поверхность!

-- 07.06.2014 23:00:06 --

ewert
П-О-Д-И-Т-Е П-Р-О-Ч-Ь!

[Pphantom]

Munin в сообщении #872908 писал(а):

Речь о том, чтобы радикально упростить материал. Без доказательств, обоснований и технических тонкостей - он крайне прост. Ну сравните, числа дают детям в 1 классе, десятичные дроби - тоже где-то там (не помню точно), с площадями, длинами и углами знакомят вообще в детском саде. Зачем выдумывать сложности там, где их нет? Да любой ребёнок знает, что такое искривлённая поверхность!

Ага. Так знакомят, что приличное количество школьников старших классов не понимает, почему площадь нельзя измерять в метрах.

Впрочем, если он крайне прост, то его попросту не нужно специально излагать.

Собственно, возьмем, например, утверждение про замкнутость магнитных силовых линий. Это можно сообщить как данность - и это просто. Можно пойти чуть дальше и сказать, что магнитных зарядов не бывает - и это тоже просто (и в этом месте приличный учитель физики должен заодно показать опыты с распиливанием магнита и т.п.). Но что будет, если где-то в этом месте радостно сообщить, что $\nabla \cdot \vec B = 0$? А ничего. Понимания физики это не добавит. Умение решать какие-то дополнительные задачи появится только тогда, когда будет известно, как считать дивергенцию. Но для этого надо либо таки излагать пресловутый векторный анализ (а это по условиям задачи недопустимо), либо просто учить механически ее вычислять - а зачем?

ewert в сообщении #872903 писал(а):

Я бы даже сказал более технически. А кто это будет вести-то?...

Для отдельных школ (не всех, естественно) найти преподавателей можно, это как раз не такая большая проблема. Другой вопрос, что мало все это знать, это еще рассказать надо, а это несколько сложнее...

[Munin]

Pphantom в сообщении #872918 писал(а):

Так знакомят, что приличное количество школьников старших классов не понимает, почему площадь нельзя измерять в метрах.

Предложите им в магазине расплатиться метрами, а не рублями :-) Наглядные примеры очень быстро включают соображалку.

Pphantom в сообщении #872918 писал(а):

Впрочем, если он крайне прост, то его попросту не нужно специально излагать. :D

В том-то и дело, что он крайне прост, но он заполняет курс физики чуть более чем полностью (по грубой оценке, около 50 % времени от теоретического материала, и до 90 % - от задач), что я считаю невыносимым ярмом. Суть предложения просто в том, чтобы вынести это из курса физики, и получить возможность рассказать что-то содержательное и интересное. Ни один другой предмет (вспомните школьные географию, биологию, историю, например) от такого ярма не страдает.

Впрочем, это всё было уже написано в тех темах, к которым я вас отсылал, и которые вы говорите, что читали.

Pphantom в сообщении #872918 писал(а):

Но что будет, если где-то в этом месте радостно сообщить, что $\nabla \cdot \vec B = 0$? А ничего. Понимания физики это не добавит.

Всё наоборот: сначала надо на "Математике для физики" сообщить, что $\nabla\cdot\vec{B}=0,$ а потом на физике - просто упомянуть, что речь идёт об этом математическом факте. Это понимания физики добавит. Это даст конкретную физическую ситуацию как частный случай общего математического факта. Можно упомянуть другие физические законы и явления, подчиняющиеся тому же факту. Да мало ли, на что можно с толком потратить высвободившееся время.

Pphantom в сообщении #872918 писал(а):

Но для этого надо либо таки излагать пресловутый векторный анализ (а это по условиям задачи недопустимо), либо просто учить механически ее вычислять - а зачем?

Я не понимаю, чем вам не нравится умение вычислять дивергенцию. Как раз затем, чтобы ссылаться на это умение при преподавании физики. Как-никак, на это умение вычислять дивергенцию и так тратится довольно много сил и времени - только в вузе, на курсе матанализа, примерно 3 семестр.

Цитата:

Я бы даже сказал более технически. А кто это будет вести-то?...

Чтобы это не было пустопорожней фантазией (ни у меня нет рычагов влияния на Минобр, ни, скорее всего, ни у кого из присутствующих), можно поставить вопрос более реалистично в форме написания серии учебных пособий "для внеклассного чтения". Хорошей литературы для школьников сейчас мало, ниша завалена шпаргалками и решебниками.

[Pphantom]

Munin в сообщении #872927 писал(а):

Предложите им в магазине расплатиться метрами, а не рублями Наглядные примеры очень быстро включают соображалку.

Все-таки Вы крайне далеки от реальности...

Munin в сообщении #872927 писал(а):

Это понимания физики добавит. Это даст конкретную физическую ситуацию как частный случай общего математического факта.

А почему этот факт - математический?

Munin в сообщении #872927 писал(а):

Я не понимаю, чем вам не нравится умение вычислять дивергенцию. Как раз затем, чтобы ссылаться на это умение при преподавании физики. Как-никак, на это умение вычислять дивергенцию и так тратится довольно много сил и времени - только в вузе, на курсе матанализа, примерно 3 семестр.

Кажется, минут пятнадцать. Но в ВУЗе, там, где это умение есть куда применять. Куда его можно пристроить в школе, я не вижу.

Munin в сообщении #872927 писал(а):

Чтобы это не было пустопорожней фантазией (ни у меня нет рычагов влияния на Минобр, ни, скорее всего, ни у кого из присутствующих),

У меня некоторые возможности есть. Но пока что я об этой идее, если меня спросят, отзовусь резко отрицательно.

[Munin]

Pphantom в сообщении #872933 писал(а):

А почему этот факт - математический?

Ну, наверное, потому что я его в книжке по матанализу вычитал...

Pphantom в сообщении #872933 писал(а):

Кажется, минут пятнадцать.

А мне кажется, полсеместра.

[ewert]

Munin в сообщении #872941 писал(а):

Pphantom в сообщении #872933 писал(а):

Кажется, минут пятнадцать.

А мне кажется, полсеместра.

Возьмём среднее гипергеометрическое -- полчаса (за меньшее время не привыкнешь, тратить больше просто утомительно).