Несобственный интеграл

[korobka]

Здравствуйте! Столкнулся с такой проблемой: нужно вычислить интеграл вида:
$\int_1^{\infty } \frac{x e^{\arctg{x}}}{\left(x^2+1\right) \sqrt{x^2+1}} \, dx$

Для начала я нахожу неопределённый интеграл, сделав нечестную замену ${\arctg{x} } = t$ (нечестная из-за последующего применения тождества $1+{\tg^2{x}} = 1/{\cos^2{x}}$, так как такое можно только при $x \ne \pi/2$, а замена пределов интегрирования именно такая. Однако Wolfram Mathematica считает этот неопределённый интеграл точно так же. Переходя, однако же, к пределу для вычисления несобственного интеграла получается, что данный интеграл расходится (если переходить к пределу при устремлении $x$ к $\infty$. Однако же, если вычислить в том же Wolfram'e определённый интеграл при очень больших x, то он ещё как сходится, и график чертится совершенно другой. Интеграл считается численно и равен приблизительно $2,40$...

Я понимаю, что, скорее всего, вся загвоздка в этой неправильной замене, однако я совершенно не вижу других способов вычислить этот несобственный интеграл, да и первообразная, по сути, правильная, равная $\frac{(x-1) e^{\arctg{x}}}{2 \sqrt{x^2+1}}$.

Помогите разобраться, пожалуйста.

[SpBTimes]

Если у вас такая первообразная, что правда сомнительно, почему интеграл расходится? А вычислять его удобнее всего по частям. За $u$ берите экспоненту

[ewert]

korobka в сообщении #872744 писал(а):

сделав нечестную замену ${\arctg{x} } = t$ (нечестная из-за последующего применения тождества $1+{\tg^2{x}} = 1/{\cos^2{x}}$,

Замена станет вполне честной, если Вы поменяете местами буковки. И насчёт пределов беспокоиться не нужно -- с ними тоже всё в порядке.

-- Сб июн 07, 2014 16:01:16 --

SpBTimes в сообщении #872746 писал(а):

Если у вас такая первообразная, что правда сомнительно,

Не проверял, но -- почему бы и нет?... После той замены интегральчик станет совсем простым.

[korobka]

Первообразная действительно такая, по крайней мере, вычислял так сам и затем в Вольфраме. А расходится, потому что переходя к пределу в $F(b) - F(a), b \to \infty$ получаем $\infty$.

По частям пробовал, там затем идёт завал с арктангенсами.

Цитата:

если Вы поменяете местами буковки

Ой, прошу прощения, я именно такую замену и делал! $\arctg{x} =t$

[SpBTimes]

ewert
Интеграл нулю-то явно не равен :)

-- Сб июн 07, 2014 15:10:58 --

korobka
А с чего бесконечности-то?

[Otta]

korobka
Плохо переходите к пределу, только и всего.

SpBTimes в сообщении #872746 писал(а):

А вычислять его удобнее всего по частям. За $u$ берите экспоненту

Не знаю, мне удобнее экспоненту брать за $v$.

[ewert]

korobka в сообщении #872749 писал(а):

Ой, прошу прощения, я именно такую замену и делал! $\arctg{x} =t$

Ну так сделайте прямо здесь: что получится-то?

korobka в сообщении #872749 писал(а):

$b \to \infty$ получаем $\infty$.

Т.е. арктангенс бесконечности равен бесконечности, да?...

-- Сб июн 07, 2014 16:16:07 --

Сразу и по частям -- это некоторая авантюра. Лучше начать всё-таки с замены. Тогда сразу станет видно, берётся этот интеграл или не берётся; ну а по частям или не по частям потом -- это вопрос уже технический.

[korobka]

Удалено изображение с текстом решения.


Как-то так. Неужели предел первообразной при $x \to \infty $ не равен $\infty$?

Цитата:

Т.е. арктангенс бесконечности равен бесконечности, да?..

Нет, конечно, но умножаем же затем на $\infty -1$

[Otta]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #872757 писал(а):

Лучше начать всё-таки с замены.

Ну это кому как нравится. ) Если он уже взят сразу и по частям, то замену делать не загонишь. ))

[ewert]

korobka в сообщении #872761 писал(а):

Как-то так.

Ну вот Вы совершенно честно получили в четвёртой строчке интеграл от синуса на экспоненту. И где в этом интеграле Вы видите хоть одну бесконечность?... И кто Вас заставляет возвращаться обратно к иксам, раз уж интеграл -- определённый?...

[korobka]

То есть он-таки равен $1/2 \cdot e^{t} (\sin{t} - \cos{t})$ при подстановке пределов? И всё? Он же всё-таки несобственный...

Хотя я нашёл ошибку — неправильно посчитал предел. Искомый интеграл $= e^{\pi/2}/2$?

[Lia]

korobka
Замечание за использование изображений вместо оформления формул в $\TeX$. Изображение удалено.

[ewert]

korobka в сообщении #872770 писал(а):

Искомый интеграл $= e^{\pi/2}/2$?

Да.

[Otta]

korobka в сообщении #872770 писал(а):

И всё? Он же всё-таки несобственный...

И все. Был несобственный, стал собственный. Бывает.