Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).

[wolfspring]

Требуется доказать, что существует такая $f \in C_0$, у которой не существует фурье-прообраз, и нужно также построить пример.
Собственно говоря, я само существование этой функции доказал.

В противном случае преобразование Фурье $F$ было бы биекцией между $L^1(R^1)$ и пространством $E$ ограниченных равномерно непрерывных комплексных функций, стремящихся к 0 на бесконечности.
Так как $E$ банахово с sup-нормой, а $F$ - непрерывно со значениями в $E$ с этой нормой, то по теореме Банаха об обратном операторе отображение $F^{-1}$ тоже было бы непрерывно.
Однако это неверно: можно взять чётные гладкие функции $f_j$ с носителем в $[-1,1]$ и $0 \leq f_j \leq 1$ так, что $f_j(x) \rightarrow f(x) = I_{[-1,1]}(x)$ поточечно.
Последовательность функций $g_j = F(f_j)$ не ограничена в $L^1$, ибо $F(f) \notin L^1$.

Но это доказатальство не конструктивно - оно не даёт построения конкретного примера.

[sup]

Можно поглядеть здесь.

[wolfspring]

Цитата:

Можно поглядеть здесь.

Да, у меня точно такая же задача, как по ссылке.
Мне надо доказать, что именно $g(x) = v.p.\int_{-1/2}^{1/2}{e^{-itx}\over t\ln{|t|}}dt.$ не являеться ничьим фурье-образом.

Однако на этот счёт по ссылке никаких указаний нет.

[sup]

Вы же просили пример ...
А насчет указаний. Давайте попробуем разобраться.
Для начала, я бы предложил избавиться от буковок $v.p$.
А затем будем пробовать оценить $g(x)$.
1. Будет ли $g(x)$ непрерывна?
2. Как она ведет себя на бесконечности?

[wolfspring]

Цитата:

А затем будем пробовать оценить $g(x)$.
1. Будет ли $g(x)$ непрерывна?
2. Как она ведет себя на бесконечности?

То, что $g \in C_0$, можно считать известным.

Нужно лишь как-то доказать, что у неё нет фурье-проообраза.

-- 07.06.2014, 16:28 --

Цитата:

Для начала, я бы предложил избавиться от буковок $v.p$.

Буковки $v.p.$ - это по сути предельный переход.

$g(x) = \lim_n \int{I_{n} e^{-itx}\over t\ln{|t|}}dt.$, где $I_n = [-1/2, 1/2] / [-1/n, 1/n]$.

[sup]

Хм. Не понял, кому можно считать известным? В той теме этот вопрос как-то повис в воздухе. Неплохо бы дать хоть какие-то обоснования.
Насчет прообраза. Что значит, что его нет? Вот, например, $g(x) \equiv 1$. У нее есть прообраз - дельта-функция (с точностью до множителя). Правда это "не совсем функция" и уж точно не из $L_1(R)$.

[wolfspring]

Цитата:

Что значит, что его нет?

Ровно то, что его нет в $L_1(R)$

-- 07.06.2014, 16:50 --

Цитата:

Не понял, кому можно считать известным? В той теме этот вопрос как-то повис в воздухе. Неплохо бы дать хоть какие-то обоснования.

Потому как $g(x) = \lim_n \int{I_{n} e^{-itx}\over t\ln{|t|}}dt.$, а все $\int{I_{n} e^{-itx}\over t\ln{|t|}}$, очевидно, лежат в $C_0$, как Фурье-образы от $I_{n} e^{-itx}\over t\ln{|t|}$, лежащих в $L_1$

-- 07.06.2014, 16:56 --

Только вот ещё надо доказать, что эта сходимость равномерная - и тогда всё обоснованно.

[sup]

wolfspring в сообщении #872782 писал(а):

Только вот ещё надо доказать, что эта сходимость равномерная - и тогда всё обоснованно.

Ну что-же, можно и так, только хрен редьки не слаще. А как доказывать равномерную сходимость?
Далее. Какими средствами Вы хотите доказать, что нет прообраза из $L_1(R)$? Для этого надо знать, как Вы как определяете преобразование Фурье? Только на функциях из $L_1(R)$ или в самом широком смысле на $S'$? В зависимости от этого решение будет проще или сложнее.

[wolfspring]

Цитата:

Только на функциях из $L_1(R)$

Именно в этом смысле.

[sup]

Ну что-же. Тогда так.
Пусть мы знаем $g(x)$ - фурье-образ некой "хорошей" функции $f(x)$. Как найти эту самую $f(x)$?

[wolfspring]

Цитата:

Какими средствами Вы хотите доказать, что нет прообраза из $L_1(R)$?

Положим $g_n(х) = \int{I_{n} e^{-itx}\over t\ln{|t|}}$, тогда с одной строны $g_n \rightarrow g$,а с другой - это фурье-образы от $I_{n} \over t\ln{|t|}$ $\rightarrow $ $ 1\over t\ln{|t|}$ $ \notin L^1$, то есть сама $g(x)$ - это "фурье-образ" от $ 1\over t\ln{|t|}$ $ \notin L^1$

[sup]

Боюсь, что так просто не получится.

[wolfspring]

Цитата:

Пусть мы знаем $g(x)$ - фурье-образ некой "хорошей" функции $f(x)$. Как найти эту самую $f(x)$?

Формула обратного преобразования Фурье требует соблюдения условий Дини для самой $f(x)$(а её предполагается, что вообще нет, поэтому этой формулой воспользоваться не получится.)

[sup]

Сама по себе идея вполне здравая. Но по сути это соображения типа непрерывности. Для этого нужно преобразование Фурье в $S'$. А у Вас только $L_1(R)$.
Я думаю, что надо использовать обратное преобразование Фурье. "В лоб" его применить не удастся. Значит нужна регуляризация.

[wolfspring]

Цитата:

а её предполагается, что вообще нет

В $L^1$ разумеется.

-- 07.06.2014, 19:53 --

Цитата:

Значит нужна регуляризация.

Там очень плохое поведение функции в нуле - расходимость к бесконечности, причём разных знаков слева и справа.

-- 07.06.2014, 19:55 --

Цитата:

Значит нужна регуляризация.

Можете подсказать методы?