Разложение дроби на элементарные

[Алексей К.]

Вам чего-нибудь такое нужно???

$$\frac{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}{40a^3+50a^2+20a+10}=\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}+\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}$$

Или такое --- $\frac{40a^3+50a^2+20a+10}{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}=\frac{1}{\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}+\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}}$?

Теперь аналогичную штуку проделать с
$\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}}$ ?

Боже, где взять силы на это?

Голос: В МатЛабе каком-нибудь, в Maple...

[sdr]

Да да да, вот что-то типа этого мне и нужно. Интересно. Я до этого не додумался.

[sdr]

Я тут подумал, это не цепная дробь получится.
$$\frac{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}{40a^3+50a^2+20a+10}= \frac{1}{\frac{1}{\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}+\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}}}$

[Алексей К.]

Вы мою формулку малость испортили, и всё, что в ней было цепного, --- сломали.
Если мою формула дальше прокурочить в том же духе, то получится ещё более цепная дробь.

Добавлено спустя 2 минуты 58 секунд:

$$\frac{1}{\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}+\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}}\not= \frac{1}{\frac{1}{\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}+\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}}}.$$

[sdr]

Вы наверное не поняли. Цепную дробь мне нужно получить из этой дроби

$$\frac{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}{40a^3+50a^2+20a+10} $$

$$\frac{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}{40a^3+50a^2+20a+10}= \frac{1}{\frac{40a^3+50a^2+20a+10}{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}}= \frac{1}{\frac{1}{\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}+\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}}} $$

[Алексей К.]

Вы хотите получить выражение типа
$\frac{P(a)}{Q(a)}=A_1+\frac{1}{B}$, где $B=B_1+\frac{1}{C}$, где $C=C_1+\frac{1}{D}$ итд. ? Это у нас называется цепной дробью?

[sdr]

Алексей К. писал(а):

$\frac{P(a)}{Q(a)}=A_1+\frac{1}{B}$, где $B=B_1+\frac{1}{C}$, где $C=C_1+\frac{1}{D}$

Это цепная дробь

sdr писал(а):

$$\frac{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}{40a^3+50a^2+20a+10}= \frac{1}{\frac{40a^3+50a^2+20a+10}{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}}= \frac{1}{\frac{1}{\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}+\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}}} $$

А это НЕ цепная дробь.

[Алексей К.]

Ну так исходите из этого:

Алексей К. писал(а):

$$\frac{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}{40a^3+50a^2+20a+10}=\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}+\frac{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }{40a^3+50a^2+20a+10}$$

Здесь $A_1=\frac{3}{4}a-\frac{7}{16}$, $B=\frac{40a^3+50a^2+20a+10}{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }$.

Цепное выражение удобнее имет в виде
$\frac{P(a)}{Q(a)}=A_1+\frac{b_0}{B}$, $B=B_1+\frac{c_0}{C}$, $C=C_1+\frac{d_0}{D}$, где (теперь) вместо единичек стоят числа $b_0,c_0,d_0,\ldots$. Это позволит иметь целые коэффициенты в врыжениях. Вместо $\frac{1}{1+\frac{2x}{5}}$ будет $\frac{5}{5+2x}$.

Теперь у Вас $B=\frac{40a^3+50a^2+20a+10}{ \frac{375}{8}a^2+\frac{45}{4}a+\frac{43}{8} }=\frac{320a^3+400a^2+160a+80}{ 375a^2+90a+43 }=B_1+\frac{c_0}{C}$.
$C$ тоже известно: $C=375a^2+90a+43$.
Если где-то приврал --- обстановка не очень способствует посторонней деятельности... Вы не научились делить многочлены в столбик? Можете сосчитать, что

$$\frac{320a^3+400a^2+160a+80}{ 375a^2+90a+43 }=\frac{320}{375}a+\mbox{число}+\mbox{очередная дробь?}$$

[sdr]

Поправка
$\frac{P(a)}{Q(a)}\not=A_1+\frac{b_0}{B}$
$\frac{P(a)}{Q(a)}=\frac{1}{A_1+\frac{b_0}{B}} $
где A_1-это частное от деление дроби
$\frac{40a^3+50a^2+20a+10}{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}$

у вас же получается, что A_1-это частное от деление дроби
$\frac{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1}{40a^3+50a^2+20a+10}$