Счетное количество решений задачи движения N тел

[evgeniy]

Рассмотрим задачу движения трех тел в релятивистском случае. запишем уравнения движения
$\frac{d^2 \vec u_1}{ds^2}=-\frac{1}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}(\frac{k m_2(\vec u_2-\vec u_1)}{|\vec u_2-\vec u_1|^3}+\frac{k m_3(\vec u_3-\vec u_1)}{|\vec u_3-\vec u_1|^3})$
и аналогичные уравнения для других тел.
После довольно громоздких преобразований, описанных в прилагаемом файле
задача для каждого тела сводится к интегралу
$\int_{u_l^0}^{u_l} \frac{dy_l}{\sqrt{\sum_p a_{lp}y_l^p+\int [p(\alpha,\beta)[\ln(y_l-c_l(\alpha,\beta))+2\pi i k]-\frac{q_l(\alpha,\beta)}{y_l-c_l(\alpha,\beta)}]d\alpha d\beta}}=h_l(t)-h_l(t_0)$
где h_l(t) монотонная функция времени. причем решение зависит от целого числа k . Т.е. имеется счетное количество решений уравнений движения. Можно подсчитать сохраняющуюся энергию этого движения, зависящую от целого числа. Кроме того имеются константы интегрирования, которые в случае макро тела определяются. а в случае элементарных частиц их определение сложно. В прилагаемом тексте я определил эти начальные условия, но определение их значений нуждается в уточнении. Уточнение их значений я надеюсь получить на форуме в ходе дискуссии.
К посту прилагаю адрес, в котором хранятся все преобразования и получение решений уравнений.
http://russika.ru/sa.php?s=873

[Pphantom]

evgeniy в сообщении #872017 писал(а):

Рассмотрим задачу движения трех тел в релятивистском случае. запишем уравнения движения

А почему это - уравнения движения?

[evgeniy]

Потому что это запись второго закона Ньютона в релятивистском случае. Ускорение равно действующей силе, деленной на массу двигающегося тела. Только ускорение вычислено через производную относительно метрического интервала, см. ЛЛ-2 выражение для ускорения в релятивистском случае. А гравитационная сила учтена с поправкой на релятивистский множитель. Масса покоя двигающейся частицы сокращается.

[Oleg Zubelevich]

надо ли это понимать так, что Вы проинтегрировали задачу трех тел?

[Someone]

evgeniy в сообщении #872080 писал(а):

Потому что это запись второго закона Ньютона в релятивистском случае. Ускорение равно действующей силе, деленной на массу двигающегося тела. Только ускорение вычислено через производную относительно метрического интервала, см. ЛЛ-2 выражение для ускорения в релятивистском случае. А гравитационная сила учтена с поправкой на релятивистский множитель. Масса покоя двигающейся частицы сокращается.

Это всё полная ерунда. Никакого "релятивистского сокращения массы" нет, зависимость между приложенной силой и ускорением в СТО совсем иная (сила и вызываемое ей ускорение, вообще говоря, даже не коллинеарны), а ньютоновская теория гравитации и СТО просто-напросто несовместимы, ибо противоречат друг другу.

[Pphantom]

evgeniy в сообщении #872080 писал(а):

Потому что это запись второго закона Ньютона в релятивистском случае.

Честно говоря, незаметно.

evgeniy в сообщении #872080 писал(а):

Ускорение равно действующей силе, деленной на массу двигающегося тела.

А почему Вы решили, что для релятивистского случая это верно?

evgeniy в сообщении #872080 писал(а):

А гравитационная сила учтена с поправкой на релятивистский множитель. Масса покоя двигающейся частицы сокращается.

Во-первых, "массы покоя" не бывает, бывает просто масса. Во-вторых, никакая масса никуда не сокращается. Ну и, наконец, с чего Вы взяли, что выражение для гравитационной силы в релятивистском случае имеет вид, аналогичный классическому?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #872085 писал(а):

надо ли это понимать так, что Вы проинтегрировали задачу трех тел?

LOL

[evgeniy]

Полученные соотношения очень простые. Имеем запись релятивистского уравнения движения Ньютона.
$\frac{d \frac{m du_l}{dt \sqrt{1-V^2/c^2}}}{dt}=F_l$
используя $ds=dt\sqrt{1-V^2/c^2}$
Получим
$\sqrt{1-V^2/c^2}\frac{d^2 u_l}{ds^2}=F_l/m$
Нет, я не проинтегрировал задачу N тел. У меня каждая координата зависит от своей монотонной функции времени $h_l(s)=h_l[u_1(s),...,u_9(s),V_1(s),...,V_9(s)]$, которую нужно определить в результате решения интегрального нелинейного уравнения Вольтера. Его можно решить в результате итераций и тогда получится решение задачи N тел. Но в результате получается приближенное решение задачи N тел.
Но суть не в этом. Суть в том, что получается счетное количество решений, с дискретной энергией. Это удалось установить путем приближенного решения задачи N тел. Принципиально уравнения Вольтера решаются, значит принципиально получено счетное количество решений и дискретная энергия.
Но мне хотелось бы обобщить это на уравнения микромира. Какие будут идеи на счет вычисления начальных условий?
Munin нельзя ли по конкретней, не поленитесь разберитесь в моих выкладках, и если найдете ошибку я буду вам благодарен.

[Pphantom]

evgeniy в сообщении #872337 писал(а):

Имеем запись релятивистского уравнения движения Ньютона.

Допустим, что имеем (хотя Вы туда явно перенапихали дифференциалов). А выражение для силы откуда взято?

evgeniy в сообщении #872337 писал(а):

Суть в том, что получается счетное количество решений, с дискретной энергией.

Кстати, тоже интересный вопрос... хотя, с учетом бессмысленности обсуждаемых выкладок, несколько философский: каким образом счетное множество решений при предельном переходе к классическому случаю может превратиться в континуум?

[evgeniy]

Выражение для силы стандартная сила гравитационного поля.
По видимому вы не читали прилагаемый файл. Там четко прописана асимптотическая формула для энергии $E_k=\operatorname{const}-\operatorname{const}/k^2+i \operatorname{const}/k$

-- Пт июн 06, 2014 12:26:38 --

Классического случая для макромира нет. Показано, что энергия макро тела квантуется при любой массе.
В случае микромира ситуация другая, в микромире для электромагнитного поля имеем для электрона 2T=U, и так как потенциальная энергия имеет классический предел $E_k=\operatorname{const}-\operatorname{const}/k^2+i \operatorname{const}/k$, значит и кинетическая энергия имеет классический предел.
Хотя и для макромира имеем эту же асимптотическую формулу и получается, что при $k\to \infty$ получаем непрерывное распределение энергии.

[Munin]

Pphantom в сообщении #872382 писал(а):

Кстати, тоже интересный вопрос... хотя, с учетом бессмысленности обсуждаемых выкладок, несколько философский: каким образом счетное множество решений при предельном переходе к классическому случаю может превратиться в континуум?

Не применительно к данном случаю, вопрос банальный: берём множество $\tfrac{n}{a},\quad n\in\mathbb{N},$ и устремляем $a\to\infty.$ Например, спектр энергий квантованной частицы в ящике ведёт себя похожим образом.

[Pphantom]

evgeniy в сообщении #872388 писал(а):

Выражение для силы стандартная сила гравитационного поля.

Еще раз: откуда Вы взяли, что в релятивистском случае эта "стандартная сила гравитационного поля" будет иметь такой вид?

Munin в сообщении #872442 писал(а):

Не применительно к данном случаю, вопрос банальный:

Это понятно, но меня интересует предельный переход именно в этом случае.

[Munin]

Я вообще не смог понять, в каком виде здесь получается счётное множество решений.

[evgeniy]

Уравнение движения в не релятивистском и в релятивистском случае имеет вид
$\frac{d\vec p_1}{dt}=-\frac{km_1m_2(\vec u_2-\vec u_1)}{|\vec r_2-\vec r_1|^3}-\frac{km_1m_3(\vec u_3-\vec u_1)}{|\vec r_3-\vec r_1|^3}$.
Определив суммарный импульс замкнутой системы взаимодействующих тел, найдем систему отсчета в которой он равен нулю. В этой системе отсчета и записано уравнение движения. А вообще-то сила Лоренца записывается для произвольной системы отсчета, см. выражение для силы Лоренца у ЛЛ-2 в релятивистском случае. Причем у силы Лоренца есть и электрический член. Причем статическое электрическое поле используется в квантовой электродинамике для вычисления энергии электрона в релятивистском случае. В системе двигающейся относительно системы покоя, справедливо преобразование Лоренца.
Решение зависит от целой постоянной k. Потенциальная энергия зависит зависит от этого целого числа. Значит и кинетическая энергия, которая связана с потенциальной теоремой вириала 2T=-U зависит от этого целого числа.
К сожалению у меня нет интернета по субботам и воскресеньям, так что до понедельника.

[Pphantom]

evgeniy в сообщении #872501 писал(а):

Уравнение движения в не релятивистском и в релятивистском случае имеет вид

Ну что ж, ясно. Более или менее деликатные намеки не помогают.