правильный шестиугольник

[function]

Здравствуйте! В "Кванте" №3, 2013 г. была такая задача: в правильном шестиугольнике отметили точку, далее с ней соединили все вершины шестиугольника. Докажите, что сумма площадей образовавшихся треугольников через один равна сумме площадей остальных. Там её предлагали решить при помощи аффинных функций. А можно ли без них, но чтобы было красиво? Я попытался применить поворот относительно центра шестиугольника, в результате получил изображение этих треугольников, но дальше ничего не вышло. Может тут надо какую-нибудь хитрую симметрию обнаружить?

[Brukvalub]

Это почти очевидный факт. Если продолжить стороны правильного 6-угольника, то станут видны 2 равных правильных треугольника, пересечением которых и является исходный 6-угольник. Вот из равенства сторон и площадей этих треугольников сразу следует доказываемый факт. Одного не понял, зачем здесь аффинные функции?

[function]

Brukvalub в сообщении #871676 писал(а):

Это почти очевидный факт. Если продолжить стороны правильного 6-угольника, то станут видны 2 равных правильных треугольника, пересечением которых и является исходный 6-угольник. Вот из равенства сторон и площадей этих треугольников сразу следует доказываемый факт. Одного не понял, зачем здесь аффинные функции?

Действительно, если продлить стороны будет два правильных треугольника (звезда Давида), но каким образом отсюда следует требуемое, никак не могу понять? Что касается аффинной функции, то она возникает в данной задаче вполне естественным образом (см. статью в "Кванте").

[Brukvalub]

Перенумеруем последовательные стороны 6-угольника цифрами 1, 2,..., 6. Если сумму расстояний до "нечетных сторон" умножить на половину длины стороны треугольника, то получится площадь одного из треугольников, если же на половину длины стороны треугольника умножить сумму расстояний до "четных сторон", то получится площадь второго треугольника.

[function]

Всё ясно, спасибо, Brukvalub!