Преобразование Дарбу и интегрируемость с квадратом

[Anna from Svetl]

Здравствуйте. Следующая проблема: не получается доказать, что применение преобразования Дарбу к решению стационарного линейного уравнения Шрёдингера оставляет новое решение интегрируемым с квадратом, если таковым было исходное решение.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Brukvalub]

Хорошо бы глянуть на ваши попытки доказательства. Или вы ожидаете. что кто-то напишет здесь вам готовое доказательство "с нуля"?

[Anna from Svetl]

Разумеется, нет. Мне нужно не доказательство, а направление, в котором его искать.

Есть два уравнения:

$$-y_{1xx}+u(x)y_1=E_1y_1,$$

$$-y_{2xx}+u(x)y_2=E_2y_2.$$

Пусть $y_2$ используется в качестве опорной функции для преобразования. Тогда оператор преобразования имеет вид

$$ \hat{q} = \frac{d}{dx} - \frac{y_{2x}}{y_2}. $$

Новое решение: $y=\hat{q}y_1$.
Новый гамильтониан: $\hat{H}^{(1)}=-d^2/dx^2 + u(x) - 2(\ln(y_2))_{xx}$.
Новое уравнение: $\hat{H}^{(1)}y = E_1y$.
Решение исходного уравнения интегрируемо с квадратом, следовательно

$$<y_1|y_1>\quad<\infty.$$

Если ПД сохраняет это свойство, то должно быть

$$<y|y> = <y_1|\hat{q}^{+}\hat{q}|y_1>\quad<\infty.$$

Не знаю, как доказать последнее утверждение.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Не, ну в таких обозначениях я точно пас... Какие-то крышечки, уголочки, верхние плюсики - прямо дыхнуло кондовой физикой!

[Anna from Svetl]

Не подумала я как-то про обозначения. Крышечки - операторы, верхние + - эрмитово сопряжение, уголочки - бра- и кет-векторы. Нижние x - производные по x.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Мне проще промолчать, чем выяснять, кто такие "бра" и "кет" векторы. Ну, "бра" у меня на стенке в спальне висит, а "кет" - это начало слова "кетонал", чтобы спина не болела?

[Anna from Svetl]

Два последних уравнения можно переписать в виде

$$\int_{-\infty}^{\infty}y_1^{*}(x)y_1(x)dx < \infty,$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}y^{*}(x)y(x)dx < \infty.$$

[Ms-dos4]

Ну так $\[\left\langle {{y_1}|{{\hat q}^ + }\hat q{y_1}} \right\rangle = \left\langle {\hat q{y_1}|\hat q{y_1}} \right\rangle \]$, разве нет?

[Anna from Svetl]

Ms-dos4 в сообщении #871484 писал(а):

Ну так $\[\left\langle {{y_1}|{{\hat q}^ + }\hat q{y_1}} \right\rangle = \left\langle {\hat q{y_1}|\hat q{y_1}} \right\rangle \]$, разве нет?

Да, но что с этим дальше делать?

[Ms-dos4]

Выберите в качестве $\[{y_1}\]$ собственные функции оператора $\[{{{\hat q}^ + }\hat q}\]$, тогда $\[y = \hat q{y_1}\]$ ортогональна и нормируема

[Anna from Svetl]

Но я же не могу произвольно выбрать $y_1$. Она содержится, так сказать, в условии задачи.

[Ms-dos4]

Да, здесь видимо сложнее, вопрос к взаимно однозначному соответствию. Сразу в голову быстрого решения не приходит, вы в литературе пробовали смотреть? Если не найдёте и никто из других более грамотных участников форума не поможет, я обещаю подумать.

[Anna from Svetl]

Так вот я даже не знаю, куда смотреть. Гугл по преобразованию Дарбу выдает ссылки на статьи, в основном. Причем, к моему вопросу эти статьи не имеют особого отношения.
По идее, функция $y_1$ автоматически должна быть собственной функцией для оператора $\hat{q}^{+}\hat{q}$, но у меня так не получается. Возможно, просто ошибка где-то.

[v_n]

$\hat{H}-E_2=\hat{q}^{+}\hat{q}$
$\hat{q}^{+}\hat{q}y_1=(E_1-E_2)y_1$