Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?

[patzer2097]

malimax в сообщении #871163 писал(а):

Хотя... его якобиан может быть равен нулю?

Точно! А чему равен его якобиан? И что делать, если он все-таки равен нулю?

[Oleg Zubelevich]

достаточно проверить, что если $A=(a_{ij})$ то

$$\frac{\partial}{\partial a_{11}}\Big(\det A\Big)\Big|_{A=E}=1$$

[patzer2097]

А почему этого достаточно?

В данном случае, мне кажется, можно и для любой матрицы $M\in\operatorname{SL}_2$ заметить, что

$$\left.\frac{\partial}{\partial x_{ij}}\left(\det X\right)\right|_{X=M}\neq 0$$

при некоторых $i$ и $j$ (т.к. эта частная производная равна алгебраическому дополнению элемента $(i,j)$ матрицы $M$, у которой полный ранг).

[Oleg Zubelevich]

patzer2097 в сообщении #871197 писал(а):

А почему этого достаточно?

Oleg Zubelevich в сообщении #871065 писал(а):

надо доказать, что окрестность единицы является гладким многообразием, а потом разнести эту окрестность сдвигами

[patzer2097]

(Oleg Zubelevich)

Oleg Zubelevich в сообщении #871198 писал(а):

разнести эту окрестность сдвигами

Я просто не вполне понимаю, что имеется в виду.

[Oleg Zubelevich]

допустим мы доказали, что в окрстности единицы у нас глакое многообразие. Берем произвольную матрицу $M\in SL$ отображение $X\mapsto MX$ экспортирует структуру гладкого многообразия из окрестности единицы в окрестость точки $M$

[patzer2097]

(Oleg Zubelevich)

спасибо!