Двойной интеграл по неприятной области. Проверьте

[tetroel]

Добрый вечер! Есть у меня один нехороший двойной интеграл, проверьте, пожалуйста, правильно ли он сделан мною?

Условие такое: $\int \int _Dx dx dy$ по области $D:\left( \begin{array}{c} x^2+y^2=6 y \\ x=0 \\ y=\sqrt{3} \\ \end{array} \right)$

Я начал так: нарисовал область

Потом решил, что рекурсивные интегралы решать не хочу, поэтому перешёл в полярные по
$J=\rho $
$x=\rho \cos(\varphi ) $
$y=\rho \sin(\varphi )$

И началось самое интересное. Прямая $y=\sqrt{3}$ в моей системе имеет вид $\rho =\frac{\sqrt{3}-3}{\sin{\varphi} }$, а так как радиус равен $3$ из исходного уравнения, то, разрешая уравнение относительно $\varphi$, получаю, что $\varphi = \arcsin\left({\frac{\sqrt{3}-3}{3}}\right)$.

Тогда мой интеграл имеет вид $\int_{\frac{3 \pi }{2}}^{\frac{3 \pi }{2}+\arcsin{\frac{\sqrt{3}-3}{3}}} \cos\varphi \, d\varphi \int_{\frac{\sqrt{3}-3}{\sin(\varphi)}}^3 \rho ^2 \, d\rho$

Внутренний будет равен $9 -10\sqrt{3}\csc^3{\varphi}+18\csc^3{\varphi}$

Далее я интегрирую полученное выражение со всеми штучками, что внутри следующего выражения, и получаю $-9 \sin (\varphi)+5 \sqrt{3} \cot ^2(\varphi)-9 \cot ^2(\varphi)$

В конце-концов мой ответ выглядит так: $\frac{1}{2} \left(9-\sqrt{3}\right)$
//В процессе работал с арккосинусом, потому что с ним попроще, он легко по рисунку получается $\arccos{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}$
Правильно?
Может, если правильно, кто-то пожскажет способ попроще?:з

[Otta]

tetroel в сообщении #871191 писал(а):

по области $D:\left( \begin{array}{c} x^2+y^2=6 y \\ x=0 \\ y=\sqrt{3} \\ \end{array} \right)$

А почему на картинке заштрихована именно голубая область?

[tetroel]

Otta в сообщении #871196 писал(а):

А почему на картинке заштрихована именно голубая область?

Ну, я подумал, что это часть окружности, ограниченная прямой $x=0$ и $y=\sqrt{3}$...

То есть это неверно, да?

[Otta]

Так ведь таких частей четыре. Условия не хватает какого-то еще для определенности.

[geezer]

tetroel в сообщении #871199 писал(а):

То есть это неверно, да?

По-хорошему,там вместо равенств должны быть неравенства по моим представлениям. Тогда можно будет трактовать однозначно.

[Otta]

tetroel
Как бы там ни было, при любом раскладе, попроще он решается именно в декартовых координатах.