Функция из S' (ошибка в некоторых учебниках)

[Foxer]

Возьмем некоторую непрерывную функцию $f(x) > 0$ на $\mathbb{R}$. Пусть она задает функционал на $S$ посредством интеграла, т.е. $f(\varphi) = \int f\varphi dx$. В некоторых учебниках пишется, что все вышеописанные функции имеют полиномиальный рост, но это неправда! Что правда, так это то, что первообразная от $f$ имеет полиномильный рост.
Задача. Привести пример функции, которая удовлетворяет условиям выше, но не является функцией полиномильаного роста.

Вроде как я решил задачу, но хочется удостовериться, что решил правильно.
Решение.
Возьмем следующую функцию $f$ - тождественная единица, а во всех целых точках сделаем холмики $h_n$, чтобы $f(n) = n^n$, а площадь под холмиком равна $1$. Эта функция и правда лежит в $S'$, допустим, $\int f \varphi \leq \int \varphi + \sum_{i = -\infty}^{\infty} max_{x \in [i, i+1]}\varphi(x)$. Ну а последняя сумма максимумов, естественно, сходится. Остается заметить, что из-за "всплесков" функция не имеет полиномиального роста. По данному примеру сразу видно, чем приглянулась в данном случае первообразная. Она сглаживает эти всплески.

Да, принадлежность $S'$ доказано плохо (нужно бы по-хорошему еще один очевидный шаг произвести), но хочется узнать, верны ли все остальные рассуждения?

[Oleg Zubelevich]

Foxer в сообщении #871117 писал(а):

В некоторых учебниках пишется, что все вышеописанные функции имеют полиномиальный рост,

в каких учебниках?

[Foxer]

Oleg Zubelevich в сообщении #871129 писал(а):

Foxer в сообщении #871117 писал(а):

В некоторых учебниках пишется, что все вышеописанные функции имеют полиномиальный рост,

в каких учебниках?

Преподаватель, который дал задачу, не уточнял. Хотя, вполне можно ему поверить. Допустим, и Колмогоров в своих книжках по функциональному анализу ошибался.

[g______d]

Foxer в сообщении #871117 писал(а):

Что правда, так это то, что первообразная от $f$ имеет полиномильный рост.

А это откуда? Возьмите производную от Вашей функции, ее первообразная не будет иметь полиномиальный рост.

Foxer в сообщении #871117 писал(а):

В некоторых учебниках пишется, что все вышеописанные функции имеют полиномиальный рост, но это неправда!

По-моему, полиномиальный рост будет только в среднем, в смысле $\int|f(x)|(1+|x|)^{-n}<+\infty$ для некоторого $n$.

Никакой поточечной полиномиальной ограниченности, разумеется, ожидать нельзя. Начиная с того, что регулярная обобщенная функция определена с точностью до множества меры нуль, и в счетном множестве точек можно задать какой угодно рост; и заканчивая тем, что функция $\sum_{n\in \mathbb Z}\delta(x-n)$ принадлежит $S'$, и можно эти $\delta$-функции аппроксимировать $\delta$-образными последовательностями, улучшая качество аппроксимации на бесконечности как угодно.

[Foxer]

g______d в сообщении #871150 писал(а):

А это откуда? Возьмите производную от Вашей функции, ее первообразная не будет иметь полиномиальный рост.

Условие положительности нарушится, сударь.

-- 02.06.2014, 22:42 --

g______d в сообщении #871150 писал(а):

Никакой поточечной полиномиальной ограниченности, разумеется, ожидать нельзя. Начиная с того, что регулярная обобщенная функция определена с точностью до множества меры нуль, и в счетном множестве точек можно задать какой угодно рост; и заканчивая тем, что функция $\sum_{n\in \mathbb Z}\delta(x-n)$ принадлежит $S'$, и можно эти $\delta$-функции аппроксимировать $\delta$-образными последовательностями, улучшая качество аппроксимации на бесконечности как угодно.

Ну короче, то что я и написал. Спасибо!

[g______d]

Foxer в сообщении #871155 писал(а):

Условие положительности нарушится, сударь.

Прошу прощения, проглядел положительность.