Площадь криволинейной трапеции. Как найти?

[hassword]

Munin в сообщении #870692 писал(а):

Введите внятно систему координат. На сфере их может быть вагон и маленькая тележка.

думаю что я уже внятно все сказал.

[Munin]

Напрасно.

Примеры системы координат на сфере:
1. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ Назовём координатами $\varphi=\arctg_2(y/x)$ и $\theta=\arcsin z.$

2. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ Назовём координатами $y$ и $z.$

3. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ Назовём координатами $\tilde{y}=y/x$ и $\tilde{z}=z/x.$

4. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ Введём $P=\arccos x$ и $\mathit{\Phi}=\arctg_2(z/y).$ Назовём координатами $X=P\cos\mathit{\Phi}$ и $Y=P\sin\mathit{\Phi}.$

5. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ ... (Подставьте сюда своё любимое извращение.)

И все они претендуют на то, чтобы быть "аналогией с декартовыми координатами". По крайней мере, их оси взаимно перпендикулярны. В нуле.

[Skeptic]

Pphantom в сообщении #870630 писал(а):

Skeptic в сообщении #870615 писал(а):

Если на сфере построить четырёхугольник так, что две противоположные стороны лежат на окружностях, образованных пересечением двух параллельных плоскостей, то можно этот четырёхугольник на сфере уподобить трапеции на сфере?

Это не будет четырехугольником. Геодезическими на сфере являются только окружности, возникающие при сечении сферы плоскостями, проходящими через ее центр. Соответственно, для Ваших двух окружностей как минимум одна геодезической не будет, т.е. у "четырехугольника" хотя бы одна сторона - кривая.

Исходная задача решается попросту разбиением фигуры на два треугольника, для каждого из которых площадь равна сумме углов треугольника минус $\pi$. Но это при условии, что все стороны фигуры - отрезки геодезических (дуги больших кругов), иначе таки надо сначала понять, что ТС называет "трапецией".

Прежде, чем разбивать фигуру на треугольники, надо сначала понять, что в постановке задачи подразумевается под "криволинейной трапецией". Четырёхугольник, образованный геодезическими линиями, не тянет на родство с "криволинейной трапецией".

Если взять полусферу, на основании начертить трапецию и спроектировать её на полусферу, то такую фигуру можно назвать криволинейной трапецией на сфере. Полученная фигура, построена не из геодезических линий, поэтому на два треугольника она не разбивается. Но появилась возможность перейти от сферических координат к прямоугольным.

[Munin]

Skeptic в сообщении #871004 писал(а):

Если взять полусферу, на основании начертить трапецию и спроектировать её на полусферу

Каким из кучи способов?

[Skeptic]

С первого сообщения в этой теме встал вопрос: как понимать криволинейную трапецию на сфере. Я, худо-бедно, подобрал определение. Munin, вас устраивает такое определение?

Провести плоскость большого круга можно как угодно. От этого изменятся только размеры проекции криволинейной трапеции на плоскость, но проекция останется трапецией. Примерно так же, как не изменится длина дуги окружности при повороте координат, изменятся только проекции на оси.
Мне так кажется.

[hassword]

Munin в сообщении #870799 писал(а):

Напрасно.

Примеры системы координат на сфере:
1. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ Назовём координатами $\varphi=\arctg_2(y/x)$ и $\theta=\arcsin z.$

2. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ Назовём координатами $y$ и $z.$

3. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ Назовём координатами $\tilde{y}=y/x$ и $\tilde{z}=z/x.$

4. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ Введём $P=\arccos x$ и $\mathit{\Phi}=\arctg_2(z/y).$ Назовём координатами $X=P\cos\mathit{\Phi}$ и $Y=P\sin\mathit{\Phi}.$

5. Пусть сфера $x^2+y^2+z^2=1.$ ... (Подставьте сюда своё любимое извращение.)

И все они претендуют на то, чтобы быть "аналогией с декартовыми координатами". По крайней мере, их оси взаимно перпендикулярны. В нуле.

Вы просто рассматриваете переход от декартовых координат к "аналогией декартовых координат на сфере".

[Алексей К.]

Ещё есть стереографическая проекция: икс-игрек на плоскости --- однозначно в ИКС-ИГРЕК-ЗЭТ на сфере.
Уместность её к данной беседе не оценивал: у меня отпуск кончился вчера, прочитать вдумчиво не могу.
Криволинейная трапеция на сфере --- та, что прямолинейна на плоскости.
Но что-то без подробного обдумывания это глупеньким кажется.

[Munin]

hassword в сообщении #871036 писал(а):

Вы просто рассматриваете переход от декартовых координат к "аналогией декартовых координат на сфере".

Да. Это надо сделать до того, как вообще говорить о "криволинейных трапециях на сфере". И я это делаю за вас, лентяй вы этакий!