Частные производные второго порядка неявной функции

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста с задачкой

Функция $z=z(x,y)$ задана неявно $xyz=e^z$

$$(xyz)'_{x} = (e^z)'_{x}$$

$$yz + xyz'_{x} = e^z z'_{x} (1)$$

$$yz = e^z z'_{x} - xyz'_{x}$$

$$yz = z'_{x} (e^z - xy)$$

$$z'_{x} = \frac{yz}{(e^z - xy)} (2)$$

Дифференцирую $(1)$ по икс

$$(yz + xyz'_{x})'_{x} = (e^z z'_{x})'_{x}$$

$$yz'_{x} + yz'_{x} + xyz''_{x^2} = e^z z'_{x} z'_{x} + e^z z''_{x^2}$$

$$ xyz''_{x^2} - e^z z''_{x^2} = e^z z'_{x} z'_{x} - yz'_{x} - yz'_{x}$$

$$ z''_{x^2}( xy - e^z) = e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}$$

$$ z''_{x^2} = \frac{e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}}{xy - e^z}$$

А теперь дифференцирую $2$ по икс

$$z''_{x^2} = \left (\frac{yz}{(e^z - xy)} \right ) '_{x}$$

$$z''_{x^2} = \frac{(yz)'_{x} (e^z - xy) - (e^z - xy)'_{x} yz}{(e^z - xy)^2} $$

$$z''_{x^2} = \frac{yz'_{x} (e^z - xy) - (e^z z'_{x} - y) yz}{(e^z - xy)^2} $$

В итоге двумя способами производные получаются разные

Первым способом:

$$ z''_{x^2} = \frac{e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}}{xy - e^z}$$

Вторым способом:

$$z''_{x^2} = \frac{yz'_{x} (e^z - xy) - (e^z z'_{x} - y) yz}{(e^z - xy)^2} $$

[demolishka]

Попробуйте подставить в полученные уравнения вместо $z'_{x}$ нужные величины.

[Limit79]

demolishka
Огромное Вам спасибо! Совпали

[arseniiv]

Пожалуйста, не пишите $z'_{x^2}$ — кто-то может неправильно понять, лучше $z'_{xx}$.

[bot]

arseniiv в сообщении #870920 писал(а):

кто-то может неправильно понять, лучше $z'_{xx}$

Сверху посмотришь - первая, а снизу - вторая. Лучше уж так $z''_{xx}$ или вообще без штрихов $z_{xx}$.

[Someone]

А вообще, если частные производные какого-то порядка нужны все, лучше вычислять дифференциал соответствующего порядка.

[arseniiv]

bot в сообщении #870973 писал(а):

Лучше уж так $z''_{xx}$ или вообще без штрихов $z_{xx}$.

Точно, упустил.