2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 01:10 
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста с задачкой :|

Функция $z=z(x,y)$ задана неявно $xyz=e^z$

$$(xyz)'_{x} = (e^z)'_{x}$$

$$yz + xyz'_{x} = e^z z'_{x}   (1)$$

$$yz = e^z z'_{x} -  xyz'_{x}$$

$$yz = z'_{x} (e^z  -  xy)$$

$$z'_{x} =  \frac{yz}{(e^z  -  xy)} (2)$$

Дифференцирую $(1)$ по икс $$(yz + xyz'_{x})'_{x} = (e^z z'_{x})'_{x}$$

$$yz'_{x} + yz'_{x} + xyz''_{x^2} = e^z z'_{x} z'_{x} + e^z z''_{x^2}$$

$$ xyz''_{x^2} - e^z z''_{x^2} = e^z z'_{x} z'_{x} - yz'_{x} - yz'_{x}$$

$$ z''_{x^2}( xy - e^z) = e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}$$

$$ z''_{x^2} = \frac{e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}}{xy - e^z}$$

А теперь дифференцирую $2$ по икс $$z''_{x^2} =  \left (\frac{yz}{(e^z  -  xy)} \right ) '_{x}$$

$$z''_{x^2} = \frac{(yz)'_{x} (e^z  -  xy) - (e^z  -  xy)'_{x} yz}{(e^z  -  xy)^2} $$

$$z''_{x^2} = \frac{yz'_{x} (e^z  -  xy) - (e^z z'_{x}  -  y) yz}{(e^z  -  xy)^2} $$

В итоге двумя способами производные получаются разные :facepalm:

Первым способом: $$ z''_{x^2} = \frac{e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}}{xy - e^z}$$

Вторым способом: $$z''_{x^2} = \frac{yz'_{x} (e^z  -  xy) - (e^z z'_{x}  -  y) yz}{(e^z  -  xy)^2} $$

:|

 
 
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 01:25 
Аватара пользователя
Попробуйте подставить в полученные уравнения вместо $z'_{x}$ нужные величины.

 
 
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 01:41 
demolishka
Огромное Вам спасибо! Совпали 8-)

 
 
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 10:45 
Пожалуйста, не пишите $z'_{x^2}$ — кто-то может неправильно понять, лучше $z'_{xx}$. :-)

 
 
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 13:05 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #870920 писал(а):
кто-то может неправильно понять, лучше $z'_{xx}$

Сверху посмотришь - первая, а снизу - вторая. Лучше уж так $z''_{xx}$ или вообще без штрихов $z_{xx}$.

 
 
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 16:45 
Аватара пользователя
А вообще, если частные производные какого-то порядка нужны все, лучше вычислять дифференциал соответствующего порядка.

 
 
 
 Re: Частные производные второго порядка неявной функции
Сообщение02.06.2014, 21:50 
bot в сообщении #870973 писал(а):
Лучше уж так $z''_{xx}$ или вообще без штрихов $z_{xx}$.
Точно, упустил.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group