Частные производные второго порядка неявной функции

Limit79 · 29/08/11 1759

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста с задачкой

Функция $z=z(x,y)$ задана неявно $xyz=e^z$

$(xyz)'_{x} = (e^z)'_{x}$

$yz + xyz'_{x} = e^z z'_{x} (1)$

$yz = e^z z'_{x} - xyz'_{x}$

$yz = z'_{x} (e^z - xy)$

$z'_{x} = \frac{yz}{(e^z - xy)} (2)$

Дифференцирую $(1)$ по икс $(yz + xyz'_{x})'_{x} = (e^z z'_{x})'_{x}$

$yz'_{x} + yz'_{x} + xyz''_{x^2} = e^z z'_{x} z'_{x} + e^z z''_{x^2}$

$xyz''_{x^2} - e^z z''_{x^2} = e^z z'_{x} z'_{x} - yz'_{x} - yz'_{x}$

$z''_{x^2}( xy - e^z) = e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}$

$z''_{x^2} = \frac{e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}}{xy - e^z}$

А теперь дифференцирую $2$ по икс $z''_{x^2} = \left (\frac{yz}{(e^z - xy)} \right ) '_{x}$

$z''_{x^2} = \frac{(yz)'_{x} (e^z - xy) - (e^z - xy)'_{x} yz}{(e^z - xy)^2}$

$z''_{x^2} = \frac{yz'_{x} (e^z - xy) - (e^z z'_{x} - y) yz}{(e^z - xy)^2}$

В итоге двумя способами производные получаются разные :facepalm:

Первым способом: $z''_{x^2} = \frac{e^z z'_{x} z'_{x} - 2yz'_{x}}{xy - e^z}$

Вторым способом: $z''_{x^2} = \frac{yz'_{x} (e^z - xy) - (e^z z'_{x} - y) yz}{(e^z - xy)^2}$