Расширение полей мероморфных функций

[OlgaD]

Помогите, пожалуйста, разобраться с расширениями полей. С теорией полей знакома поверхностно.

Предположим имеется конечное (т.е. непостоянное собственное) отображение римановых поверхностей $f:S_1\rightarrow S_2.$ Оно индуцирует вложение полей мероморфных функций $f^*:\mathcal{M}(S_2)\hookrightarrow\mathcal{M}(S_2).$ Не могу разобраться в следующей взаимосвязи:

Цитата:

поскольку поля $\mathcal{M}(S_1)$ и $\mathcal{M}(S_2)$ имеют степень трансцендентности 1 над $\mathbb{C}$ и конечно порождены, степень расширения $[\mathcal{M}(S_1):f^*(\mathcal{M}(S_2))]$ конечна и называется степенью $\operatorname{deg}f$ отображения $f.$

Не очень хорошо понимаю связь между степенью конечного расширения поля и степенью трансцендентности.

[Xaositect]

Поскольку степень трансцендентности одинаковая, указанное расширение будет алгебраическим. Раз поле $\mathcal{M}(S_1)$ конечно порождено над $\mathbb{C}$, оно будет конечно порожденным и над образом $\mathcal{M}(S_2)$. У нас получается расширение конечно порожденное и алгебраическое, оно будет конечным.

[OlgaD]

Спасибо. Нашла у себя опечатку: индуцируемое отображение конечно $f^*:\mathcal{M}(S_2)\hookrightarrow\mathcal{M}(S_1).$

Xaositect в сообщении #870697 писал(а):

Раз поле $\mathcal{M}(S_1)$ конечно порождено над $\mathbb{C}$, оно будет конечно порожденным и над образом $\mathcal{M}(S_1)$.

Я не совсем поняла, может над образом $\mathcal{M}(S_2)?$

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #870705 писал(а):

Я не совсем поняла, может над образом $\mathcal{M}(S_2)?$

Да, поправил.

[OlgaD]

Спасибо большое. Теперь сообразила.

[OlgaD]

Обратное утверждение доказывается аналогично?

Теорема. Если $f:S_1\rightarrow S_2$ - конечное отображение римановых поверхностей, то расширение $f^*:\mathcal{M}(S_2)\hookrightarrow\mathcal{M}(S_1)$ конечно и его степень $\leqslant\operatorname{deg}f.$

Нужно доказать

Цитата:

Следствие. Поле мероморфных функций $\mathcal{M}(S)$ компактной римановой поверхности $S$ конечно порождено над $\mathbb{C}$ и имеет степень трансцендентности $\leqslant 1.$

Тогда, по видимому нужно рассмотреть случаи, когда на $S$ нет непостоянных мероморфных функций, или они есть. В первом случае $\mathcal{M}(S)=\mathbb{C}$ и $\mathcal{M}(S)/\mathbb{C}=0.$ Если на поверхности есть непостоянные мероморфные функции, то применяем теорему к функции $f:S\rightarrow\overline{\mathbb{C}}.$ Так как расширение $f^*$ алгебраично, то степень трансцендентности у $S$ и $\overline{\mathbb{C}}$ совпадают, т.е. ст. тр. $\matcal{M}(S)/\mathbb{C}=$ ст. тр. $\mathbb{C}(z)/\mathbb{C}=1.$ Это рассуждение верно?

[Xaositect]

Да.

Только странно, почему этот факт использовался в предыдущем доказательстве:

OlgaD в сообщении #870665 писал(а):

поскольку поля $\mathcal{M}(S_1)$ и $\mathcal{M}(S_2)$ имеют степень трансцендентности 1 над $\mathbb{C}$ и конечно порождены[...]

[OlgaD]

Это моя вина, извините. Изначально вопрос возник именно по доказательству следствия. Но первая цитата показалась более непонятной, поэтому решила спросить именно о ней.

Подскажите, еще, пожалуйста, что такое в теории расширения полей следующие термины:

$\mathbb{C}$-расширение, $\mathbb{C}$ - изоморфизм, $\mathbb{C}$ - поле и $\mathbb{C}$ - автоморфизм?

Могу только предположить, что первый термин предполагает расширение полей инвариантное над полем $\mathbb{C};$ второе - изоморфизм над полем $\mathbb{C};$ третье - расширение поля $\mathbb{C}$ и последнее $\mathbb{C}$-изоморфизм расширения в само себя.

Полной уверенности у меня нет. Буду очень благодарна, если подскажите литературу, где об этом можно почитать.