Найти мультипликативную группу кольца

[Gaary]

Задача.
Найти мультипликативную группу кольца $\mathbb{Z}[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}i]$

Решение.
$K = \mathbb{Z}[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}i] = \{a + b(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}i)| a,b \in \mathbb{Z}\}$
Я правильно понимаю, что $K^{*}$ будет равно $K$ за исключением нуля и делителей нуля?

[AV_77]

Gaary в сообщении #870289 писал(а):

Я правильно понимаю, что $K^{*}$ будет равно $K$ за исключением нуля и делителей нуля?

Нет. Что такое мультипликативная группа кольца?

[Gaary]

Поправка, кольцо $\mathbb{Z}[-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}i]$

Ой, да. Мультипликативная группа кольца состоит из всех обратимых элементов этого кольца.

То есть мне необходимо найти элементы:
$(a + b(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}))\cdot (c + d(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})) = 1$
Когда я приравниваю вещественную часть 1, а мнимую часть 0, я получаю систему из 2 уравнений с 4 неизвестными. И я не знаю, что делать дальше. Может есть какой-то другой способ?

[Sonic86]

Такой вариант можно:
Попробуйте найти гомоморфизм мультипликативного моноида кольца в $\mathbb{Z}$. Как в этом гомоморфизме ведут себя обратимые элементы?
Можно рассмотреть также сопряжение как автоморфизм кольца, как он действует на обратимых элементах?

Gaary в сообщении #870348 писал(а):

То есть мне необходимо найти элементы:
$(a + b(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}))\cdot (c + d(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})) = 1$

Где-то 2 раза $i$ потеряли.