Задача. Доказать, что преобразование Фурье функции

, где

равно ей же самой, т.е.

.
"Решение". В принципе, задачу я вроде как решил, но прошу следить за руками. Да, обозначим

за

, чтобы не нагромождать.
1. Нужно посчитать интеграл

. Постараемся сделать это вычетами.
2. Посчитаем где знаменатель обращается в нуль.

, отсюда

.
3. Возьмем последовательность контуров

- полуокружностей с диаметрами
![$[-R_n, R_n]$ $[-R_n, R_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/4/3b4019acddd5cf3a45a0f334ceaf463582.png)
, где

(чтобы радиусы попадали между нулями знаменателя) и лежащим полностью в области

.
4. Хочется, чтобы интеграл по полуокружности стремился к нулю. Лемму Жордана тут не применишь, ибо нет непрерывности в нужной области. Знаменатель оценивается снизу по модулю как

, а далее я не знаю как оценить этот интеграл (ну или посчитать на крайний случай). Да и вообще, у меня закрадываются большие подозрения, что так грубо оценить интеграл нельзя.
5. Но, допустим, мы доказали, что интеграл по полуокружности равен нулю. Тогда по теореме Коши о вычетах мы получаем, что сумма вычетов в

будет равна искомому преобразованию Фурье. Посчитаем вычеты, как отношении голоморфной функции к функции, имеющей в этой точке полюс первого порядка. (Тут могу ошибиться с вычислениями, поправьте пожалуйста)

6. Превосходно, значит наш интеграл будет равен

, считаем как геометрическую прогрессию, получаем

. Вроде как радует, что с аргументом

я не оплошал, но с константой, видимо, немного накосячил.
7. Весь пафос был ради этой строчки! Проблема в том, что геометрическую прогрессию не всегда можно суммировать :), лишь когда ее знаменатель меньше 1. А мы так взяли и лихо просуммировали. Ну, преподаватель, естественно, меня на этом и подловил. Пока писал пост - возникла мысль,

- четная функция, так что без разницы, что интегрировать

, что

. А вот на подсчет вычета это как раз повлияет и получится

. Возникает второй вопрос, а как вообще такое получилось, взяли вместо икса подставили минус икс и получили сходящийся ряд? Предположение - мы интегрировали не по той полуокружности?
Итог. Нужна помощь с пунктом 4, проверка 5, 6 и, правильно ли я рассуждал в 7?